对于任意一个多边形,如果已知其各个顶点的坐标
,那么这个多边形的面积为:,
其中
。
举个例子(From Wikipedia),比如下图这样一个奇奇怪怪的五边形,其顶点坐标为
根据上述公式,只需要把各点坐标带入上述公式即得:
是不是感觉很神奇,也不知道对不对,这个大家也可以把上述面积分解验算一下。
上述公式就是Shoelace Theorem,鞋带定理?!
为什么叫Shoelace Theorem,因为这个公式的运算很像鞋带,我们来看看三个顶点时的公式计算,
,就如下图所示:
对于任意
边形,我们也可以类型的把坐标依次写下来,然后就可以根据公式算出这个多边形的面积了。不过这里有两点需要注意:
(1)对于任意多边形,我们看到的只是各个顶点的坐标,是没有标
的,所以这里我们只需要任意指定一个顶点为,然后按照顺时针或者逆时针进行标号就可以了;
(2)因为我们是任意指定一个点为
,且顺时针或者逆时针都可以,所以有时候按照公式计算出来是为负值。但是面积是一个正值,因此我们公式中是有一个绝对值的;
接下去我们就证明一下Shoelace Theorem,不过在证明之前,我们铺垫一点向量叉乘(cross product)的知识。(如果清楚可以直接看公式证明过程。)
之前我们有介绍过向量点乘(dot product),
。
注:上式左边是向量的点乘符号,右边是数乘符号。
这里我们在定义一个向量叉乘,
,
注,向量叉乘得到的是一个新的向量。
其中
是一个单位向量,其方向是垂直 向量所成平面的法向量方向。这里我们可以根据右手来判断,首先用右手四指(除大拇指外)指向,然后弯曲转向,那么大拇指指向的就是方向,如下图
如果是
,那么方向就跟 刚好相反。
那么向量叉乘怎么算呢?
这里我们就直接给出计算公式了。
如果
, ,
那么,
。
如果学过矩阵行列式,我们可以用行列式表示:
.
说了这么多的向量叉乘,那么跟面积有什么关系呢?
我们在《三角形面积公式知多少?》一文中提过一个三角形面积公式:
。
比对一下叉乘公式,我们发现
就是以 两个向量所构成的平行四边形面积。再除以2,就是以 构成的三角形面积了。
接下去我们要用数学归纳法来证明Shoelace Theorem,首先证明三个顶点时定理成立,然后假设
个顶点定理成立,推导 边形时成立。【1】证明三角形时成立
已知平面坐标系上三个顶点坐标
,我们可以把这三个顶点放到三维空间中,并把点 移动到原点 。那么, , 。
于是,根据向量叉乘的几何意义可知:
。
注:(1)把二维平面上的三角形放到了三维空间中,面积保持不变;且把点 移动到了原点,这样计算就方便很多。
(2)为了接下去证明的方便,我们这里没有加绝对值,因为如果计算出来是负值,只需要改变一下计算顺序就可以了。
【2】假设
边形时成立,推导边形成立
已知条件
边形时成立, ,
其中
。
对于顶点为
的 边形,可以分为 边形与一个三角形之和,,,
于是,
其中,
。
至此,我们就完整的证明了Shoelace Theorem。这个定理在竞赛中还是比较常见的,比如在AMC10/12中,今年AMC12A中就有:
利用这个定理还是很容易计算的,
不知道大家对于这个定理有什么想法,欢迎交流讨论~
如果想看三角形与四边形面积计算公式可看下面两篇文章:
双木止月Tong:【国际数学竞赛】三角形面积公式知多少?双木止月Tong:【国际数学竞赛】四边形面积公式知多少?
想了解更多关于国际数学竞赛及课程的知识,可参阅:
双木止月Tong:国际数学竞赛及课程
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