文章目录
一:基向量二:线性组合三:向量张成的空间四:向量与点的关系五:线性相关和线性无关一:基向量
在xyxyxy直角坐标系中有一对非常特殊的向量
iii:指向xxx轴正方向的单位向量jjj:指向yyy轴正方向的单位向量
而(3−2)\begin{pmatrix} 3\\ -2\end{pmatrix}(3−2)这个向量的xxx和yyy坐标可以看作一个标量,它是单向向量iii正向拉长为原来的3倍,把单位向量jjj反向拉长为原来的2倍
从这个角度上理解这个向量实际上是两个经过缩放的向量的和(注意这个概念非常重要)
这里我们把iii和jjj称为为xyxyxy坐标系的“基向量,合起来被称为坐标系的基”
这意味着当你把向量的分量看作标量时,那么基向量实际就是这些标量要缩放的对象
另外还需要注意的一点是:每当我们用数字描述向量时,它都依赖于我们正在使用的基。因为上面我们的举的例子是在一个非常特殊,非常普遍的情况,就是选择xyxyxy坐标系的xxx轴和yyy轴所在处作为基向量,那要是任选两个向量呢?当然也是可以的
而且在这种情况下,通过标量缩放,这两个向量也可以表示二维平面内的任意向量
但是这种变换与之前我们描述的那个iii和jjj的情况是完全不一样的,还是那句话:每当我们用数字描述向量时,它都依赖于我们正在使用的基
二:线性组合
两个数乘向量的和称为这两个向量的线性组合
如果固定其中一个变量,让另外一个标量自由变换,那么所能表示的向量的终点会绘成一条直线
如果让两个标量都自由变换,那么会有以下几种情况:
在大多数情况下,对于一切初始向量,你能到达平面中任何一个点,所有二维向量尽在你的掌握之中
有时也会出现两个初始向量共线,那么所产生的新的向量的重点会被限制在一条过原点的直线上
还有,两个向量可能都是零向量,那么就只能呆在原地了
三:向量张成的空间
这里就可以引入一个概念——向量张成的空间:它是一个集合,这个集合表示了所有可以由给定向量通过线性组合表示的向量
两个向量张成的空间实际上是提出了一个问题:仅通过向量加法和向量数乘这两种基础的运算,你能获得的所有向量的集合是什么?
所以在三维空间中,取两个不同指向的向量,其张成的空间就是过某个原点的平面
如果将第三个向量让其落在前面两个向量张成的空间中,那么它们张成的空间将不会发生变化,或者通俗点说,这个向量就会被困在这个空间
四:向量与点的关系
一直到这里,我们对于向量的直观感受就是一个箭头,但其实点也是向量的一种表现形式
如果我们把所有二维向量铺满整个平面(用箭头),你会觉得异常拥挤
所以为了解决这个问题,让向量起点从原点开始,只保留每个向量的终点,这样的话箭头就退化成了点
这样的话当你在考虑落在一条直线上的所有向量时,只考虑直线本身即可
同样,你在考虑二维向量时,就不必关注箭头了,只需考虑点即可
注意我们在考虑单个向量时,最好还是用箭头
五:线性相关和线性无关
根据前面所述,在一组向量中,有个别向量是“多余的”,去掉它们,向量张成的空间不会减少,那么我们就称它们是线性相关的
反之,如果所有向量都给张成的空间增添了新的维度,那么我们就称它们是线性无关的
因此,向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关向量集合
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