eiθ=cosθ+isinθ⇒⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪cosθ=12eiθ+12e−iθsinθ=12ieiθ−12ie−iθ
欧拉公式的存在，建立了三角函数与复指数之间的桥梁，也使得相当多的数学公式形式变得简单。
1. 傅里叶级数（fourier series）
u(t)=a02+∑+∞n=1(ancos2πnFt+bnsin2πnFt)2. 傅里叶级数的复指数形式
为简化运算，不妨令 θ=2πnFt，则：
u(t)=====a02+∑+∞n=1(ancos2πnFt+bnsin2πnFt)a02+∑∞n=1(ancosθ+bnsinθ)a02+∑∞n=1((12an−12ibn)eiθ+(12an+12ibn)e−iθ)a02+∑∞n=1((12an−12ibn)ei2πnFt+(12an+12ibn)e−i2πnFt)∑∞n=−∞Unei2πnFt
其中：
Un=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪12an−12ibn,12a012a|n|+12ib|n|,n≥1n=0n≤1
化为更一般的形式即为：
f(λ)=∑∞k=−∞tkeikλ,λ∈[0,2π]tk=12π∫2π0f(λ)e−ikλdλ
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