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原文出处：拓端数据部落公众号

本案例研究说明了卡尔曼滤波器的设计和仿真。考虑稳态和时变卡尔曼滤波器。

植物动力学

考虑一个在输入u[n]上有加性高斯噪声w[n]。

此外，让 yv[n] 是输出 y[n] 的噪声测量，其中 v[n] 表示测量噪声：

离散卡尔曼滤波器

该问题的稳态卡尔曼滤波器方程如下。

测量更新：

时间更新：

在这些方程中：

ˆx[nn−1] 是 x[n] 的估计值，给定过去直到 yv[n−1] 的测量值。

ˆx[nn] 是基于最后一次测量 yv[n] 的更新估计。

给定当前估计 ˆx[nn]，时间更新预测下一个样本n+ 1的状态值（提前一步预测）。然后，测量更新基于新的测量值 yv[n+1] 调整该预测。修正项是新值的函数，即 y[n+1] 的测量值和预测值之间的差异。这种差异由下式给出：

给定噪声协方差，选择创新增益 M 以最小化估计误差的稳态协方差：

您可以将时间和测量更新方程组合到一个状态空间模型中，即卡尔曼滤波器：

该滤波器生成 yn 的最佳估计 ˆy[nn]。请注意，过滤器状态是 ˆx[nn−1]。

稳态设计

您可以使用函数 设计上述稳态卡尔曼滤波器kalman。首先指定带有过程噪声的工厂模型：

这里，第一个表达式是状态方程，第二个是测量方程。

以下命令指定此工厂模型。采样时间设置为 -1，以将模型标记为离散模型而不指定采样时间。

Pla = s

假设Q=R= 1，设计离散卡尔曼滤波器。

kalm

此命令返回kalmf滤波器的状态空间模型以及创新增益M。

M

kalmf的输入是u和 yv，以及。输出是工厂输出和状态估计，ye=ˆy[nn] 和 ˆx[nn]。

因为您对输出估计 ye 感兴趣，所以选择第一个输出kalmf并丢弃其余的。

kalmf

要查看滤波器的工作原理，请生成一些输入数据和随机噪声，并将滤波后的因变量 ye 与真实因变量y 进行比较。您可以单独生成每个因变量，也可以同时生成两者。要分别模拟每个因变量，先单独使用植物，然后将植物和过滤器连接在一起。接下来详细介绍联合仿真替代方案。

下面的框图显示了如何生成真实输出和过滤输出。

您可以使用函数和构建此框图的状态空间模型。首先构建一个完整的工厂模型，以u、w、v作为输入，y和 yv（测量值）作为输出。

s(a,b,c,d,-1,'iptnme',{'u' 'w' 'v'},'ouutnae',{'y' 'yv'});

然后形成下图的并联。

pal(P,kf,1,1,[],[]);

最后，通过将设备输出 yv 连接到具有正反馈的过滤输入 yv 来关闭传感器回路。

Smoe = feedback; % 围绕输入#4和输出#2关闭循环SiMe = SMdl % 从I/O列表中删除yv

生成的仿真模型将w、v、u作为输入，y和 ye 作为输出。查看属性进行验证。

InuNeOupNme

您现在已准备好模拟过滤器。生成正弦输入u并处理和测量噪声向量w和v。

n = lengthw = sqrt*randnv = sqrt*randn

模拟因变量。

[out,x] = lsimy = out; % 真实响应ye = out; % 滤过的响应yv = y + v; % 测量响应

以图形方式比较真实和过滤后的因变量。

plotxlabeltitlesubplotxlabel

第一个图显示了真实因变量y（虚线）和过滤后的输出 ye（实线）。第二个图将测量误差（点划线）与估计误差（实线）进行比较。该图显示噪音水平已显着降低。这是通过计算协方差误差来确认的。滤波前的误差协方差（测量误差）为：

MEro = sum/length

滤波后的误差协方差（估计误差）降低：

EsrCv = sum/length

时变卡尔曼滤波器

时变卡尔曼滤波器是对时变系统或具有非平稳噪声协方差的 LTI 系统的稳态滤波器的推广。

考虑以下工厂状态和测量方程。

时变卡尔曼滤波器由以下递归给出：

测量更新：

时间更新：

这里，ˆx[nn−1] 和 ˆx[nn] 如前所述。此外：

为简单起见，表示状态空间矩阵的时间依赖性的下标已被删除。

给定初始条件 x[10] 和 P[10]，您可以迭代这些方程来执行过滤。您必须在每个时间样本更新状态估计 x[n.] 和误差协方差矩阵 P[n.]。

时变设计

要实现这些滤波器递归，首先要生成噪声输出测量值。使用之前产生的过程噪声w和测量噪声v。

y = lsim

假设以下初始条件：

用for循环实现时变滤波器。

P = B*Q*B'; %初始误差协方差x = zeros; % 状态的初始条件for i = 1:length% 测量更新erv(i) = C*P*C';% 时间更新x = A*x + B*u;

以图形方式比较真实输出和估计输出。

subplot(211)subplotxlabel

第一个图显示了真实因变量y（虚线）和过滤后的因变量 ye（实线）。第二个图将测量误差（点划线）与估计误差（实线）进行比较。

时变滤波器还估计errcov每个样本的估计误差 y-ye的协方差。绘制它以查看您的滤波器是否达到稳定状态（正如您对固定输入噪声所期望的那样）。

subplot(211)plot

从这个协方差图中，您可以看到输出协方差确实在大约五个样本中达到了稳定状态。从那时起，您的时变滤波器具有与稳态版本相同的性能。

与由实验数据导出的估计误差协方差比较：

Esro = sum/length

该值小于理论值errcov，接近稳态设计获得的值。

最后，注意最终值 M[n] 和创新增益矩阵的稳态值M重合。

MnM

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