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原文出处:拓端数据部落公众号
本案例研究说明了卡尔曼滤波器的设计和仿真。考虑稳态和时变卡尔曼滤波器。
植物动力学
考虑一个在输入u[n]上有加性高斯噪声w[n]。
此外,让 yv[n] 是输出 y[n] 的噪声测量,其中 v[n] 表示测量噪声:
离散卡尔曼滤波器
该问题的稳态卡尔曼滤波器方程如下。
测量更新:
时间更新:
在这些方程中:
ˆx[nn−1] 是 x[n] 的估计值,给定过去直到 yv[n−1] 的测量值。
ˆx[nn] 是基于最后一次测量 yv[n] 的更新估计。
给定当前估计 ˆx[nn],时间更新预测下一个样本n+ 1的状态值(提前一步预测)。然后,测量更新基于新的测量值 yv[n+1] 调整该预测。修正项是新值的函数,即 y[n+1] 的测量值和预测值之间的差异。这种差异由下式给出:
给定噪声协方差,选择创新增益 M 以最小化估计误差的稳态协方差:
您可以将时间和测量更新方程组合到一个状态空间模型中,即卡尔曼滤波器:
该滤波器生成 yn 的最佳估计 ˆy[nn]。请注意,过滤器状态是 ˆx[nn−1]。
稳态设计
您可以使用函数 设计上述稳态卡尔曼滤波器kalman
。首先指定带有过程噪声的工厂模型:
这里,第一个表达式是状态方程,第二个是测量方程。
以下命令指定此工厂模型。采样时间设置为 -1,以将模型标记为离散模型而不指定采样时间。
Pla = s
假设Q=R= 1,设计离散卡尔曼滤波器。
kalm
此命令返回kalmf
滤波器的状态空间模型以及创新增益M
。
M
kalmf
的输入是u和 yv,以及。输出是工厂输出和状态估计,ye=ˆy[nn] 和 ˆx[nn]。
因为您对输出估计 ye 感兴趣,所以选择第一个输出kalmf
并丢弃其余的。
kalmf
要查看滤波器的工作原理,请生成一些输入数据和随机噪声,并将滤波后的因变量 ye 与真实因变量y 进行比较。您可以单独生成每个因变量,也可以同时生成两者。要分别模拟每个因变量,先单独使用植物,然后将植物和过滤器连接在一起。接下来详细介绍联合仿真替代方案。
下面的框图显示了如何生成真实输出和过滤输出。
您可以使用函数和构建此框图的状态空间模型。首先构建一个完整的工厂模型,以u、w、v作为输入,y和 yv(测量值)作为输出。
s(a,b,c,d,-1,'iptnme',{'u' 'w' 'v'},'ouutnae',{'y' 'yv'});
然后形成下图的并联。
pal(P,kf,1,1,[],[]);
最后,通过将设备输出 yv 连接到具有正反馈的过滤输入 yv 来关闭传感器回路。
Smoe = feedback; % 围绕输入#4和输出#2关闭循环SiMe = SMdl % 从I/O列表中删除yv
生成的仿真模型将w、v、u作为输入,y和 ye 作为输出。查看属性进行验证。
InuNeOupNme
您现在已准备好模拟过滤器。生成正弦输入u并处理和测量噪声向量w和v。
n = lengthw = sqrt*randnv = sqrt*randn
模拟因变量。
[out,x] = lsimy = out; % 真实响应ye = out; % 滤过的响应yv = y + v; % 测量响应
以图形方式比较真实和过滤后的因变量。
plotxlabeltitlesubplotxlabel
第一个图显示了真实因变量y(虚线)和过滤后的输出 ye(实线)。第二个图将测量误差(点划线)与估计误差(实线)进行比较。该图显示噪音水平已显着降低。这是通过计算协方差误差来确认的。滤波前的误差协方差(测量误差)为:
MEro = sum/length
滤波后的误差协方差(估计误差)降低:
EsrCv = sum/length
时变卡尔曼滤波器
时变卡尔曼滤波器是对时变系统或具有非平稳噪声协方差的 LTI 系统的稳态滤波器的推广。
考虑以下工厂状态和测量方程。
时变卡尔曼滤波器由以下递归给出:
测量更新:
时间更新:
这里,ˆx[nn−1] 和 ˆx[nn] 如前所述。此外:
为简单起见,表示状态空间矩阵的时间依赖性的下标已被删除。
给定初始条件 x[10] 和 P[10],您可以迭代这些方程来执行过滤。您必须在每个时间样本更新状态估计 x[n.] 和误差协方差矩阵 P[n.]。
时变设计
要实现这些滤波器递归,首先要生成噪声输出测量值。使用之前产生的过程噪声w
和测量噪声v
。
y = lsim
假设以下初始条件:
用for
循环实现时变滤波器。
P = B*Q*B'; %初始误差协方差x = zeros; % 状态的初始条件for i = 1:length% 测量更新erv(i) = C*P*C';% 时间更新x = A*x + B*u;
以图形方式比较真实输出和估计输出。
subplot(211)subplotxlabel
第一个图显示了真实因变量y(虚线)和过滤后的因变量 ye(实线)。第二个图将测量误差(点划线)与估计误差(实线)进行比较。
时变滤波器还估计errcov
每个样本的估计误差 y-ye的协方差。绘制它以查看您的滤波器是否达到稳定状态(正如您对固定输入噪声所期望的那样)。
subplot(211)plot
从这个协方差图中,您可以看到输出协方差确实在大约五个样本中达到了稳定状态。从那时起,您的时变滤波器具有与稳态版本相同的性能。
与由实验数据导出的估计误差协方差比较:
Esro = sum/length
该值小于理论值errcov
,接近稳态设计获得的值。
最后,注意最终值 M[n] 和创新增益矩阵的稳态值M重合。
MnM
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