[Matlab]维纳滤波器设计

[Matlab]维纳滤波器设计

​ 维纳滤波（wiener filtering) 一种基于最小均方误差准则、对平稳过程的最优估计器。这种滤波器的输出与期望输出之间的均方误差为最小，因此，它是一个最佳滤波系统。它可用于提取被平稳噪声污染的信号。

​ 从连续的（或离散的）输入数据中滤除噪声和干扰以提取有用信息的过程称为滤波，这是信号处理中经常采用的主要方法之一，具有十分重要的应用价值，而相应的装置称为滤波器。根据滤波器的输出是否为输入的线性函数，可将它分为线性滤波器和非线性滤波器两种。维纳滤波器是一种线性滤波器。

基本概念

​ 从噪声中提取信号波形的各种估计方法中，维纳（Wiener）滤波是一种最基本的方法，适用于需要从噪声中分离出的有用信号是整个信号（波形），而不只是它的几个参量。

设维纳滤波器的输入为含噪声的随机信号。期望输出与实际输出之间的差值为误差，对该误差求均方，即为均方误差。因此均方误差越小，噪声滤除效果就越好。为使均方误差最小，关键在于求冲激响应。如果能够满足维纳－霍夫方程 [3] ，就可使维纳滤波器达到最佳。根据维纳－霍夫方程，最佳维纳滤波器的冲激响应，完全由输入自相关函数以及输入与期望输出的互相关函数所决定。

维纳滤波器优缺点

维纳滤波器的优点是适应面较广，无论平稳随机过程是连续的还是离散的，是标量的还是向量的，都可应用。对某些问题，还可求出滤波器传递函数的显式解，并进而采用由简单的物理元件组成的网络构成维纳滤波器。维纳滤波器的缺点是，要求得到半无限时间区间内的全部观察数据的条件很难满足，同时它也不能用于噪声为非平稳的随机过程的情况，对于向量情况应用也不方便。因此，维纳滤波在实际问题中应用不多。

实现维纳滤波的要求是：

1.输入过程是广义平稳的

2.输入过程的统计特性是已知的。根据其他最佳准则的滤波器亦有同样要求

然而，由于输入过程取决于外界的信号、干扰环境，这种环境的统计特性常常是未知的、变化的，因而难以满足上述两个要求。这就促使人们研究自适应滤波器。

维纳滤波器原理分析：

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%clc;clear all; close all; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%输入信号A=1; %信号的幅值f=1000; %信号的频率fs=10^5; %采样频率t=(0:999);%采样点Mlag=100;%相关函数长度变量 x=A*cos(2*pi*f*t/fs); %输入正弦波信号xmean=mean(x);%正弦波信号均值xvar=var(x,1); %正弦波信号方差noise=wgn(1,1000,2);%产生1行1000列的矩阵，强度为2dbwxn=x+noise; %给正弦波信号加入信噪比为20dB的高斯白噪声plot(t,xn) xlabel('x轴单位：t/s','color','b')ylabel('y轴单位：A/V','color','b')xnmean = mean(xn) %计算加噪信号均值xnms = mean(xn.^2) %计算加噪信号均方值xnvar = var(xn,1) %计算输入信号方差Rxn=xcorr(xn,Mlag,'biased'); %计算加噪信号自相关函数figure(2)subplot(221)plot((-Mlag:Mlag),Rxn) %绘制自相关函数图像title('加噪信号自相关函数图像')[f,xi]=ksdensity(xn); %计算加噪信号的概率密度，f为样本点xi处的概率密度subplot(222)plot(xi,f) %绘制概率密度图像title('加噪信号概率密度图像')X=fft(xn);%计算加噪信号序列的快速离散傅里叶变换Px=X.*conj(X)/600;%计算信号频谱subplot(223)semilogy(t,Px) %绘制在半对数坐标系下频谱图像title('输入信号在半对数坐标系下频谱图像')xlabel('x轴单位：w/rad','color','b')ylabel('y轴单位：w/HZ','color','b')pxx=periodogram(xn); %计算加噪信号的功率谱密度subplot(224)semilogy(pxx) %绘制在半对数坐标系下功率谱密度图像title('加噪信号在半对数坐标系下功率谱密度图像')xlabel('x轴单位：w/rad','color','b')ylabel('y轴单位：w/HZ','color','b')%维纳滤波N=100;%维纳滤波器长度Rxnx=xcorr(xn,x,Mlag,'biased'); %产生加噪信号与原始信号的互相关函数rxnx=zeros(N,1); rxnx(:)=Rxnx(101:101+N-1);Rxx=zeros(N,N); %产生加噪信号自相关矩阵Rxx=diag(Rxn(101)*ones(1,N));for i=2:Nc=Rxn(101+i)*ones(1,N+1-i);Rxx=Rxx+diag(c,i-1)+diag(c,-i+1);endRxx;h=zeros(N,1);h=inv(Rxx)*rxnx; %计算维纳滤波器的h(n)yn=filter(h,1,xn); %将加噪信号通过维纳滤波器figure(5)plot(yn) %绘制经过维纳滤波器后信号图像title('经过维纳滤波器后信号信号图像')xlabel('x轴单位：f/HZ','color','b')ylabel('y轴单位：A/V','color','b')ynmean=mean(yn) %计算经过维纳滤波器后信号均值ynms=mean(yn.^2) %计算经过维纳滤波器后信号均方值ynvar=var(yn,1) %计算经过维纳滤波器后信号方差Ryn=xcorr(yn,Mlag,'biased'); %计算经过维纳滤波器后信号自相关函数figure(6)subplot(221)plot((-Mlag:Mlag),Ryn) %绘制自相关函数图像title('经过维纳滤波器后信号自相关函数图像')[f,yi]=ksdensity(yn);%计算经过维纳滤波器后信号的概率密度，f为样本点xi处的概率密度subplot(222)plot(yi,f) %绘制概率密度图像title('经过维纳滤波器后信号概率密度图像')Y=fft(yn); %计算经过维纳滤波器后信号序列的快速离散傅里叶变换Py=Y.*conj(Y)/600;%计算信号频谱subplot(223)semilogy(t,Py) %绘制在半对数坐标系下频谱图像title('经过维纳滤波器后信号在半对数坐标系下频谱图像')xlabel('x轴单位：w/rad','color','b')ylabel('y轴单位：w/HZ','color','b')pyn=periodogram(yn); %计算经过维纳滤波器后信号的功率谱密度subplot(224)semilogy(pyn) %绘制在半对数坐标系下功率谱密度图像title('经过维纳滤波器后信号在半对数坐标系下功率谱密度图像')xlabel('x轴单位：w/rad','color','b')ylabel('y轴单位：w/HZ','color','b')subplot(4,1,1),plot(noise); title('噪声信号')subplot(4,1,2),plot(x); title('正弦信号')subplot(4,1,3),plot(xn); title('加噪信号')subplot(4,1,4),plot(yn); title('维纳信号')

维纳滤波器函数设计：

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%维纳滤波器函数设计%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%function y =wienerfilter(x,Rxx,Rxd,N) %进行维纳滤波 %x是输入信号，Rxx是输入信号的自相关向量 %Rxd是输入信号和理想信号的的互相关向量，N是维纳滤波器的长度 %输出y是输入信号通过维纳滤波器进行维纳滤波后的输出 h=yulewalker(Rxx,Rxd,N);%求解维纳滤波器系数 t=conv(x,h);%进行滤波 Lh=length(h);%得到滤波器的长度 Lx=length(x);%得到输入信号的长度 y=t(double(uint16(Lh/2)):Lx+double(uint16(Lh/2))-1);%输出序列y的长度和输入序列x的长度相同%以下是维纳滤波器系数的求解 function h=yulewalker(A,B,M) %求解Yule-Walker方程 %A是接收信号的自相关向量为 Rxx(0),Rxx(1),......,Rxx(M-1) %B是接收信号和没有噪声干扰信号的互相关向量为 Rxd(0),Rxd(1),......,Rxd(M-1) %M是滤波器的长度 %h保存滤波器的系数 T1=zeros(1,M);%T1存放中间方程的解向量 T2=zeros(1,M);%T2存放中间方程的解向量 T1(1)=B(1)/A(1); T2(1)=A(2)/A(1); X=zeros(1,M); for i=2:M-1 temp1=0; temp2=0; for j=1:i-1 temp1=temp1+A(i-j+1)*T1(j); temp2=temp2+A(i-j+1)*T2(j); end X(i)=(B(i)-temp1)/(A(1)-temp2); for j=1:i-1 X(j)=T1(j)-X(i)*T2(j); end for j=1:i T1(j)=X(j); end temp1=0; temp2=0; for j=1:i-1 temp1=temp1+A(j+1)*T2(j); temp2=temp2+A(j+1)*T2(i-j); end X(1)=(A(i+1)-temp1)/(A(1)-temp2); for j=2:i X(j)=T2(j-1)-X(1)*T2(i-j+1); end for j=1:i T2(j)=X(j); end end temp1=0; temp2=0; for j=1:M-1 temp1=temp1+A(M-j+1)*T1(j); temp2=temp2+A(M-j+1)*T2(j); end X(M)=(B(M)-temp1)/(A(1)-temp2); for j=1:M-1 X(j)=T1(j)-X(M)*T2(j); end h=X;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%维纳滤波器案例测试%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%clc;clear all; close all; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%load handel%加载语音信号d=y; d=d*8;%增强语音信号强度d=d';[m,n]=size(d);T = 1/Fs; % 采样时间t = (1:n)*T;% 时间subplot(3,2,1);plot(t,d);title('原始语音信号');xlabel('时间/t');ylabel('幅值/dB');fq=fft(d,8192);%进行傅立叶变换得到语音信号频频subplot(3,2,2);f=Fs*(0:4095)/8192;plot(f,abs(fq(1:4096)));%画出频谱图title('原始语音信号的频域图形');xlabel('频率 f');ylabel('FFT');x_noise=randn(1,n);%（0，1）分布的高斯白噪声x=d+x_noise;%加入噪声后的语音信号subplot(3,2,3);plot(t,x);title('加入噪声后');xlabel('时间/t');ylabel('幅值/dB');fq=fft(x,8192);%对加入噪声后的信号进行傅立叶变换，看其频谱变化subplot(3,2,4);plot(f,abs(fq(1:4096)));%画出加入噪声后信号的频谱图title('加入噪声后语音信号的频域图形');xlabel('频率 f');ylabel('FFT');%维纳滤波yyhxcorr=xcorr(x(1:4096));%求取信号的信号的自相关函数size(yyhxcorr); A=yyhxcorr(4096:4595);yyhdcorr=xcorr(d(1:4096),x(1:4096));%求取信号和理想信号的互相关函数size(yyhdcorr);B=yyhdcorr(4096:4595);M=500;yyhresult=wienerfilter(x,A,B,M);%进行维纳滤波yyhresult=yyhresult(300:8192+299);subplot(3,2,5);t = (1:8192)*T;% 时间plot(t,yyhresult);%画出频谱图title('进行维纳滤波');xlabel('时间/t');ylabel('幅值/dB');fq=fft(yyhresult);%对维纳滤波的结果进行傅立叶变换，看其频谱变化subplot(3,2,6); f=Fs*(0:4095)/8192;plot(f,abs(fq(1:4096)));%画出维纳滤波后信号的频谱图title('经过维纳滤波后语音信号的频域图形');xlabel('频率 f');ylabel('FFT');

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