路程和工程问题是初一和小升初数学应用题的经典题型,本文就例题详细解析这类题型的解题思路,希望能给初一新生和面临小升初考试的学生们的数学学习带来帮助。
例题1
某仓库内有一批货物,如果用3辆大卡车,4天可以运完;如果用4辆小卡车,5天可以运完;如果用20辆手推车,6天可以运完.现在先用2辆大卡车,3辆小卡车和7辆手推车共同运2天后,全部改用手推车运,必须在两天内运完,那么后两天每天至少需要多少辆手推车?
解题过程:
把运输这批货物的总工作量看作单位1
完成的工作量=1辆车的工作效率×车的数量×工作时间
根据题目中的条件:这批货物用3辆大卡车,4天可以运完,则1辆大卡车的工作效率=1÷(3×4)=1/12;
根据题目中的条件:这批货物用4辆小卡车,5天可以运完,则1辆小卡车的工作效率=1÷(4×5)=1/20;
根据题目中的条件:这批货物用20辆手推车,6天可以运完,则1辆手推车的工作效率=1÷(20×6)=1/120;
根据题目中的条件:先用2辆大卡车,3辆小卡车和7辆手推车共同运2天,则2天的工作量=(1/12×2+1/20×3+1/120×7)×2=(1/6+3/20+7/120)×2=3/4;
根据题目中的条件和结论:这批货物的总工作量=1,大卡车、小卡车和手推车前2天的工作量=3/4,则剩余的工作量=1-3/4=1/4;
根据结论:剩余的工作量=1/4,手推车的工作效率=1/120,运输2天完成,则参与运输的手推车数量=1/4÷(1/120×2)=15;
所以,至少需要15辆手推车。
例题2
环绕小山一周的公路长1920米,甲、乙两人沿公路竞走,两人同时同地出发,反方向行走,甲比乙走得快,12分钟后两人相遇.如果两人每分钟多走16米,则相遇地点与前次相差20米.(1)求甲乙两人原来的行走速度.(2)如果甲、乙两人各以原速度同时同地出发,同向行走,则甲在何处第二次追上乙?
1、求甲乙两人原来的行走速度
设甲乙两人原来的行走速度分别为v1、v2,路程=速度×时间
甲乙沿圆形轨道同时同地反向行走,圆形轨道周长=甲行走的路程+乙行走的路程
根据题目中的条件:公路长1920米,甲乙两人同时同地出发,反方向行走,12分钟后两人相遇,则1920=(v1+v2)×12,即两人原来的速度和v1+v2=160米/分钟;
根据题目中的条件和结论:甲乙两人每分钟多走16米,两人原来的速度和v1+v2=160米/分钟,则甲乙两人加速以后的相遇时间t=1920÷(v1+v2+16×2)=10分钟;
根据题目中的条件:相遇地点与前次相差20米,甲按原来速度行走的路程=v1×12,甲加速以后行走的路程=(v1+16)×10,则两次行走的路程差=v1×12-(v1+16)×10=20,或(v1+16)×10-v1×12=20,可求得v1=90米/分钟或70米/分钟;
根据结论:v1+v2=160米/分钟,则当v1=90米/分钟时,v2=70米/分钟,当v1=70米/分钟时,v2=90米/分钟;
根据题目中的条件:甲比乙走得快,则v1=70米/分钟,v2=90米/分钟不符合条件,舍去;
所以,甲原来的行走速度为90米/分钟,乙原来的行走速度为70米/分钟。
2、甲在何处第二次追上乙
甲乙同时同地同向行走,甲比乙走得快,甲第二次追上乙,甲行走的路程=乙行走的路程+圆形轨道周长×2
设从出发到第二次相遇经过的时间为t分钟
根据结论:甲乙原来的行走速度分别为90米/分钟、70米/分钟,则从出发到第二次相遇,甲行走的路程=90t,乙行走的路程=70t;
根据题目中的条件和结论:圆形轨道周长=1920米,甲乙行走的路程分别为90t、70t,则90t=70t+1920×2,可求得t=192;
根据结论:甲原来的行走速度为90米/分钟,行走时间t=192分钟,圆形轨道周长=1920米,则甲绕圆形轨道走的圈数=90×192÷1920=9;
所以,甲第二次追上乙的位置在出发地点。
结语
解决路程和工程问题应用题的关键是紧扣各个量之间的数量关系,列出等式进行求解。只有认真审题,梳理出题目中各个条件之间的逻辑关系,牢固掌握和灵活运用公式进行计算,才能轻松应对这类题型,为初中数学入门打下坚实的基础。
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