对于大多数人来讲，好像除了简单的算术都感觉不到有什么地方能用到数学知识，因此可能认为数学并无多大的用处？没错儿，非专业出身谁会知道拓扑、泛函、群、环、域、同调、同伦、纤维丛、流行等概念，更不会理解这些乱七八糟的抽象概念有什么现实意义？其实不止是普通人，就算是数学史上的一些大师级的人物，同样有过一些数学无用的观点。
数学的发展和其他的学科是联系紧密的。数学的研究内容要么来自数学本身，要么来自其他的实际问题和应用、或者其他学科。数学史家E·T·比尔认为数学是科学的仆人；数学王子高斯说过：“数学是科学的女王”。而这都表明数学对科学的推动作用，以及与自然科学的紧密联系。比如与数学联系紧密的物理学，自19世纪就有很多的力学问题为数学提供了素材和课题，而数学作为一个工具而言，其作用是不言而喻的。那么从数学自身发展的角度来讲，新的概念、思想等内容引入或发现，其实用性最初也是受到包括创立人在内的人的怀疑。
数学家的质疑
源于代数一元三次方程的求解问题而引入了虚数，而其实际意义在相当长的一段时间里不为人们所了解，这一点从“虚数”这个名字上也可见一斑。直到19世纪初，数学家给出了虚数的几何解释，才开始受到广泛关注。并由法国大数学家柯西等人进而创立一门庞大的数学分支一复变数的函数论，从此复变函数论成了科学、工艺技术的一种非常实用的工具，在航空动力学、水力学，电子学方面有广泛应用，已成为工程数学中的主要内容。茹科夫斯基关于飞机机翼爬升力的主要结论就是借助复变函数论证明出来的。这也绝对是数学家卡当引入“虚数”这一词时所未想到的。
曾经引发数学思想，甚至至整个人类思想巨大的非欧几何，也是先完成纯数学创造后发现其巨大的实用价值。19世纪20-30年鲍耶、罗巴切夫斯基、高斯通过改变欧氏几何的平行公设，分别创立了非欧几何。与“虚数”的引入相同的是，因为不知道这种新点几何在现实世界里有什么意义，罗巴切夫斯基将其命名为“想象的几何”。当时绝大多数人也都认为这种几何是荒谬而不可想象的，只是罗巴切夫斯基相信这种几何在未来应该是有用的。果然在1863年，贝尔特拉米却找到了这种几何的现实模型。在贝尔特拉米的基础上，黎曼，尤其是F·克莱因进而发展出了种种不同的新型非欧几何理论。而这些理论为相对论、视觉空间理论提供了理论基础。
20世纪最著名的数学家哈代曾说过，他从事数学工作纯粹是未来追求数学美，而不是什么数学能有什么实际用处。他甚至还断言数论和相对论在现实中是派不上什么用场的。想当年的数论中丰满的谜题吸引了大量数学家的关注，除了像是一种智力游戏，确实不无实用。直到使用素数性质来编制密码，数论与信息安全就有了直接的关系，这就是真真打脸了呀。
爱因斯坦交过的学费
一些数学家从纯粹的数学发展中接触到的新事物，从诞生就因为各种原因受到包括创立人在内的专业数学家的质疑，更何况我们普通的吃瓜群众啊，谁能说准那些东西有什么用处？也不仅仅是数学家，很多其他的自然科学大家、巨匠也曾认为数学的功用很有限。就比如大名鼎鼎的爱因斯坦先生就曾经认为数学的功用有限。
爱因斯坦回忆说，在苏黎世工业大学“照理说，我应该在数学方面得到深造”,可是“我在一定程度上忽视了数学，其原因不仅在于我对自然科学的兴趣超过对数学的兴趣，而且还在于下述奇特的经验。我看到数学分成许多专门领域，每一个领域都能费去我们所能有的短暂的一生”,“在这些学习的年代，高等数学并未引起我很大的兴趣我错误地认为，这是一个有那么多分支的领域，一个人在它的任何个分支中都很容易消耗掉他的全部精力。而且由于我的无知，我还以为对于一个物理学家来说，只要明晰地掌握了数学基本概念以备应用，也就很够了；而其余的东西，对于物理学家来说，不过是不会有什么结果的枝节问题这是一个我后来才很难过地发现到的错误我的数学才能显然还不足以使我能够把中心的和基本的内容，同那些没有原则重要性的表面部分区分开来”。
直到创立相对论的攻坚阶段，爱因斯坦的这种心态让他在科学探索中吃了苦头。爱因斯坦发现自己的数学知识储备不够，不得不找到闵可夫斯基以及学习非欧几何理论；创立广义相对论时，将引力问题转化为一个数学问题，同样是发现数学知识不够用，于是找到了老同学马尔塞尔·格罗斯曼，格罗斯曼查找到黎曼的相关文献，帮助爱因斯坦找到答案。有过这段经历后，爱因斯坦说：“在物理学中，通向更深入的基本知识的道路是同最精密的数学方法联系着的”。
爱因斯坦
如今那些理论化程度高的科学离开了数学的发展可以说是寸步难行，相信那些从事科研和走在学术前沿的人都已经越来越相信这一点。就像爱因斯坦说的那样，数学的任何一个分支领域，都可能消耗掉他的一生精力。这也是数学目前的一个状况，现在的数学家除了自己的研究领域那一亩三分地，其他的数学领域都可以达到隔行如隔山的程度了。有人说数学史上最后一个通才是庞加莱，也有人说是希尔伯特。不论是谁，我们算是认识到了一点，我们已经很久没有数学全才或通才了，这是事实。但无人能否认数学的作用，尽管它可能不能直接推导科学的发展。
我们普通人的生活实践距离大量使用数学知识确实是有点远，但是带给我们的方便就在我们身边。比如“解决雷达反射和散射图像问题的渐近绕射理论”这种问题与我们平常人确实要远些，航空航天、军事国防等方面的应用离我们也很远，还涉及保密；纯粹数学的问题如非线性偏微分方程的求解，不是数学家谁还能用这个来消遣自己无聊的时间不成？就算是数学专业出身，当初还了解最小二乘法、谱分析、优化、有限元、神经网络等数学方法，毕业后不从事相关工作，他们的生活中用的做多的也就是算术了，甚至连三角函数都用不到。只是数学专业出身的人比其他人要清楚，数学的用处是多么的广泛和深刻。天文、物理、化学、生物、医学、计算机等自然科学和经济、金融等社会科学，已经各种的工程技术都是无法脱离数学二独立发展的。
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