如图①所示,AB为⊙O的直径,AD与⊙O相切于点A,DE与⊙O相切于点E,点C为DE延长线上一点,且CE=CB.
1. 求证:BC为⊙O的切线;
图①
2. 连接AE,AE的延长线与BC的延长线交于点G(如图②所示)。若AB=2√5,AD=2,求线段BC和EG的长。
图②
分析:
1. 想要证明BC是⊙O的切线,依据切线的判定定理,需证明OB⊥BC,为此需要连接OC、OE,设法证明△OBC≌△OEC,得∠OBC=∠OEC=90°.
2. 需顺着第一问的结论,灵活运用切线长定理,勾股定理,相似三角形知识解答,关键有两点:一是连接BE,发现EC=BC=CG. 二是通过过点D作BG边上的高构造直角三角形,再应用勾股定理求出CE的长。
解:
1. 分别连接OE、OC,如图③所示。
图③
∵ CB=CE,OB=OE,OC=OC.
∴ △OBC≌△OEC.
∴ ∠OBC=∠OEC.
又∵ DE与⊙O相切于点E,
∴ ∠OEC=90°.
∴ ∠OBC=90°.
∴ BC是⊙O的切线。
2. 过点D作DF⊥BC于点F,连接BE,如图④所示。
图④
∵ AD、DC、BG分别切⊙O于点A、E、B.
∴ DA=DE,CE=CB.
设BC=k,则CF=k-2,DC=k+2.
在Rt△DFC中,由勾股定理得:
(k+2)^2-(k-2)^2=(2√5)^2.
解得 k=5/2,
即 BC=5/2.
又∵ AD∥BG,
∴ ∠DAE=∠EGC.
∵ DA=DE,
∴ ∠DAE=∠AED,
∴ ∠EGC=∠AED=∠CEG.
∴ GC=CE=CB=5/2.
∴ BG=BC+GC=5.
在Rt△ABG中,由勾股定理得:
AG^2=AB^2+BG^2=(2√5)^2+25,
∴ AG=3√5.
∵ CE=BC=CG,
∴ BE⊥GE.
∴ S△ABG=1/2 AB·BG=1/2 AG·BE.
即 2√5×5=3√5·BE.
∴ BE=10/3.
在Rt△BEG中,由勾股定理得:
EG^2=BG^2-BE^2=25-100/9=125/9.
∴ EG=5√5/3.
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