如图①所示，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE＝CB.
1. 求证：BC为⊙O的切线；
图①
2. 连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点G（如图②所示）。若AB＝2√5，AD＝2，求线段BC和EG的长。
图②
分析：
1. 想要证明BC是⊙O的切线，依据切线的判定定理，需证明OB⊥BC，为此需要连接OC、OE，设法证明△OBC≌△OEC，得∠OBC＝∠OEC＝90°.
2. 需顺着第一问的结论，灵活运用切线长定理，勾股定理，相似三角形知识解答，关键有两点：一是连接BE，发现EC＝BC＝CG. 二是通过过点D作BG边上的高构造直角三角形，再应用勾股定理求出CE的长。
解：
1. 分别连接OE、OC，如图③所示。
图③
∵ CB＝CE，OB＝OE，OC＝OC.
∴ △OBC≌△OEC.
∴ ∠OBC＝∠OEC.
又∵ DE与⊙O相切于点E，
∴ ∠OEC＝90°.
∴ ∠OBC＝90°.
∴ BC是⊙O的切线。
2. 过点D作DF⊥BC于点F，连接BE，如图④所示。
图④
∵ AD、DC、BG分别切⊙O于点A、E、B.
∴ DA＝DE，CE＝CB.
设BC＝k，则CF＝k－2，DC＝k＋2.
在Rt△DFC中，由勾股定理得：
(k＋2)^2－(k－2)^2＝(2√5)^2.
解得 k＝5/2，
即 BC＝5/2.
又∵ AD∥BG，
∴ ∠DAE＝∠EGC.
∵ DA＝DE，
∴ ∠DAE＝∠AED，
∴ ∠EGC＝∠AED＝∠CEG.
∴ GC＝CE＝CB＝5/2.
∴ BG＝BC＋GC＝5.
在Rt△ABG中，由勾股定理得：
AG^2＝AB^2＋BG^2＝(2√5)^2＋25，
∴ AG＝3√5.
∵ CE＝BC＝CG，
∴ BE⊥GE.
∴ S△ABG＝1/2 AB·BG＝1/2 AG·BE.
即 2√5×5＝3√5·BE.
∴ BE＝10/3.
在Rt△BEG中，由勾股定理得：
EG^2＝BG^2－BE^2＝25－100/9＝125/9.
∴ EG＝5√5/3.
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