同学们,今天给大家分享一下向量四心问题的解题技巧。大家有没有觉得向量四心问题的考察非常之难,以至于竞赛题都经常考出来向量四心问题。
所以,如果我们平时遇到这种题目,不能常规做,常规做在五分钟内未必能得出答案的,那我们今天讲一个技巧,如果把这个技巧思维掌握透彻,这种题目也能够秒出答案的。
那么,这个技巧的核心思维就是:特殊化!,在讲技巧之前,我先讲一些基本的知识点:
首先我们要了解向量四心是指四心?其实就是指重心、垂心、外心和内心。
①重心:是中线的交点(我用G表达);
②垂心:是三条高线的交点(我用H表达);
③外心:是中垂线的交点(我用O表达);
④内心:是角分线的交点(我用I表达)。
这四个心如何记忆,它们都有不同的向量表达,这个我们在系统课里讲得非常透彻,在这里我直接写出四心所对应的向量关系:
同学们,看到了吗,这四个心相对应向量关系常规来看是非常难的,不要用常规方法解这种题目,肯定在短时间内搞不定的,那么今天我就用技巧给同学们分享两道题。
那么,我们四心问题特殊化成什么呢?是特殊化等腰直角三角形!这个非常管用!记住:不要特殊成等边三角形,因为等边三角形四心都合为一个心,而等腰直角三角形的四心,不是一个心,但是这四心有一个特征,这四心点都在这个CD的高线上,看图:
所以,同学们你会发现,一般的三角形是不满足这个关系的,只有在等腰直角三角形中行中,四个心能区分,而且四个心都在这个CD高线上,这种题目就非常快速得到解决,如果只要能明白这个道理,我告诉大家,上面的那些公式都不用记,他答案就能出来得了,但是这些公式怎样去理解呢?我们在正课里面有详细讲解,怎么今天的课程就不讲,今天只给大家讲技巧,大家需要把这个四心掌握透彻,好了,开始看题:
同学们,你们怎样理解它的呢?好,我们就把它特殊化成等腰直角三角形,那么这个心是这个等腰直角三角形的什么心?就是答案,看懂没?因为等腰直角三角形也是三角形的一种,这个非常准,你放心大胆的使用就行了。
接下来我们就开始解题:
①先看第一个A选项为外心,如果是外心,O点就在D点,与D点重合,那么我们令边长为2,如图:
那么如果是外心,我们就直接将值代入进去看一看:
那我们就可以看出,A选项肯定不正确。
②再来看垂心,垂心是三条高线的交点,那么O点就在C点这个位置,我们仍然将值代入进去算算看:
我们直接就选B,大家就不用再往下去试了,内心这个东西大家看我前面写的公式,那是非常复杂,非常难推导的,大家一般情况下不要去碰它,它在竞赛题里是有可能考到的,但是在平常的高考中,即使出了这个选项,也一般不会选它的。
接下来我们看第二题,这道题是来源于全国1卷的压轴题,我们该如何分析?
那么,同样,这道题我们直接就将它特殊化成等腰直角三角形,接下来我们直接画图解题:
①题干说两条高线上的交点那么就是垂心H,并且与C点重合,则得到:向量OC=向量OH;
②外接圆圆心为O,那么在等腰直角三角形中,外心一定在AB边的中心上。
那么我们就可以看到向量OA与向量OB为相反向量,相加就为0向量;
我们就得到:向量OH=m·向量OH,那么实数m就为1。
非常迅速就得到答案!
同学们,这道题如果按常规做的话,你就会发现很难做,没3-5分钟根本解不出来。
今天就分享到这里,其实向量这方面的东西有很多,系统课里大致要讲七类题型,会讲得非常详细透彻,如果需要相关的资料或者其它题型的解题技巧,可以留言或者私信,我尽可能的回复大家,谢谢!
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