人类的思维是后天形成的，思维受到各种因素的影响，并表现出多面性。但符合逻辑的、精密的、深刻的、聪慧的思维是每个人希望达到的最高境界之一。数学与数学教育如此受重视，不完全是因为其广泛的用途，也不能完全从应用的角度来看待数学。在前面我们说明了数学能提供观察世界的一般观念和方法外，实际上数学对人的其他发展，尤其是对人的思维发展有不可或缺的作用和价值，数学是为人的更完美发展提供了良好训练。人们常把数学形容为思维的体操。培根说过，哲理使人深刻，诗歌使人聪慧，演算使人精密。其实数学不单单使人精密，数学同样也使人深刻，使人聪慧！
从开始，教育部让我主导国家数学课程标准的制定，这些年以来，数学的课程标准一直在发展和变化中，从“双基”到“四基”，再到数学核心素养。今天，我想重点来谈谈数学核心素养以及未来的方向。数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。
通俗一点而言，就是通过数学学科教育，我们最终要培养一个什么样的人？我们提出了数学教育的终极目标，无论我们的学生未来是否从事与数学相关的职业，我们都希望他们具备以下三点能力：1.会用数学的眼光观察世界；2.会用数学的思维思考世界；3.会用数学的语言表达世界；这其中，数学眼光指的是数学抽象、直观想象，代表数学的一般性；数学思维指的是逻辑推理、数学运算，代表数学的严谨性；数学语言指的是数学模型、数据分析，代表数学应用的广泛性。
“三会”就是我们对学生在数学能力和数学思维习惯培养上的终极目标。我们教师无论处在哪一个学段，在进行数学教育的时候脑子里应该始终想着这一终极目标。“三会”的内涵包括数学基本思想：数学眼光：数学抽象；数学思维：逻辑推理；数学语言：数学模型；因此，数学核心素养的主线是“三会”，内涵是数学思想，基础是知识，获取方式是过程，是经验的累积，是思维的习惯和做事的习惯。我们目前所使用的数学教材存在一定的问题，没有有意识地让学生感悟数学的基本思想，没有有意识地引发学生思考、帮助学生积累思维和实践的经验。
一、归纳与完全归纳
思维的一种形式是归纳。那么归纳性质的表征是什么呢？所谓归纳，是指通过对有限多个同类对象的观察分析，猜测一种共性或规律，并证明这种共性的确是正确的一种思维方法。通俗讲就是由一系列具体的事实概括出一般原理。
归纳又可分为完全归纳法和不完全归纳法。完全归纳法是前提包含对象的全体，从而对该对象作出一般性结论的方法。不完全归纳法又称简单枚举归纳法，是通过观察和研究，发现某类事物中固有的某种属性，并且不断重复而没遇到相反的事例，从而判断出所有该类对象都有这一属性的推理方法。
当“同类对象”为有限多个时，我们将对象一一验证就可获得结论（对或错）；但当“同类对象”无法穷举或实际上就是无限多时，我们原有的思维方法就无法具有说服力了。因此必须寻找一种处理无限的思维方法.即在数学上所要求的完全归纳，确保其正确性.我们熟悉的完全归纳法——数学归纳法。完全归纳法是从一类事物中每个事物都具有某种属性，推出这类事物全都具有这种属性的推理方法。例如：锐角三角形的面积等于底乘高的一半；直角三角形的面积等于底乘高的一半；钝角三角形的面积等于底乘高的一半；所以，凡三角形的面积都等于底乘高的一半。
完全归纳法有两个规则：一是，前提中被判断的对象，必须是该类事物的全部对象；二是，前提中的所有判断都必须是真实的。
我们来看一些（非完全归纳）例子。
这说明，考察一组对象的性质或规律时，可能出错。究其原因在于对于“无穷多”的思维方式不能按照“有限多”方式来处理，否则容易出现问题。这种方法通常成为不完全归纳。不完全归纳法的特点是结论所断定的范围超出了前提所断定的范围，结论的知识往往不只是前提已有知识的简单推广，而且还揭示出存在于无数现象之间的普遍规律性，给我们提供全新的知识，尤其是科学的普遍原理。人们要认识周围的事物，首先必须对事物的现象进行大量的观察和实验，然后根据观察和实验所确认的一系列个别事实，应用不完全归纳法由个别的知识概括成为一般的知识，从而达到对普遍规律性的认识。所以，不完全归纳法在探求新知识的过程中具有极为重要的意义。
数学对归纳的完全性是要求十分严格，其意义不仅对所有的自然科学是重要的，而且对人文社会科学也是重要的。借鉴数学思维的严格性，可以大大提高社会科学学科的科学性。以例带证的方法属于不完全归纳，显然不能令人信服。目前许多社会科学学科还是按照这种方式来解释其命题，科学性显然要遭到质疑。
17世纪弗兰西斯培根（Francis Bacon)在总结近代实验科学方法的基础上，提出了与简单枚举归纳法相区别的“三表法”，它属最初表述的消除归纳法。同世纪的惠更斯进而提出了假说演绎法。并指出用其结论证实假说时。可能达到仅逊于完全确实性的一个概率度。19世纪詹姆斯穆勒(James Mill)继承弗兰西斯培根（Francis Bacon)的传统，提出了探求因果联系的五种归纳方法。同期的休厄尔对归纳方法的发展做出了贡献。
介于19世纪和20世纪的皮尔士把归纳方法的研究引向了现代归纳逻辑的方向。他把归纳法区分为三种：粗陋归纳、质地归纳和量的归纳。从而指出了归纳的发展方向。他指出粗陋归纳的结论是全称假说。而非统计假说。它在日常生活中有用，而在科学中不起作用。质地归纳相当于假说演绎法，具有更大的用途。量的归纳是由已被观察的某些属性在一个样本中的分布，推出关于这些属性在较大总体中的相对分布的假说．它的结论是关于经验类的个别分子将有某一属性的概率的陈述。这是科学中应用的归纳方法。量的归纳真正具有“自我纠正”的功能，从而使我们所假定的估计将越来越接近于真的数值。
二、逻辑思维的代表：演绎
逻辑思维（Logical Thinking），也称“抽象思维（Abstract thinking）”或“闭上眼睛的思维”，是一种符合某种人为制定的思维规则和思维形式的思维方式。
逻辑思维的特点是：确定无疑而非模棱两可；前后一贯而非自相矛盾；有理有据而非主观臆想。在逻辑思维中，要用到概念、判断、推理等逻辑形式和比较、分析、演绎、归纳等方法，而掌握和运用这些思维形式和方法的程度，也就是逻辑思维的能力。
演绎是科学严谨的，但是发现不了新的东西；归纳不是严谨的，但能发现新的东西，因此，有时候，需要用科学归纳法。当归纳具有完全性时，其方法可以说属于逻辑的范畴了。逻辑思维的代表之一是演绎思维。
演绎思维最早来自几何学，其影响之广泛使得人们特别看重演绎科学的地位。实际上，一门学科是否为成熟的是以它是否已形成一套演绎体系（公理体系）为标志的。数学的这一特点是与它极强的逻辑性和抽象性紧密联系在一起的。
演绎法是个别事实与一般情况下通用的规律来预测结果的方法，就是由「因」推导出「果」，由一般推导出特殊的思维方式。
例子：函数概念的演变过程。
17世纪：幂函数（多项式）的代名词。
18世纪：表达式（初等函数）。欧拉给出了y=f(x)的表示。
初等函数——非初等函数（级数、积分表示）——解析表达式（一个式子）——分段函数（伪函数，柯西引入了“对应”术语，但还是解析式子）——Dirichlet（狄利克雷）函数：
虽然这个表达式是认为构造的，带有主观性质，但它却推动了人们对函数本质的客观认识。这也反映了认识论中的基本内涵。主观判断主观事物一定要小心，不要把主观臆相混同于主观构想。科学需要主观构想的。
Dirichlet函数——对应规则（何为对应？）——有序对（x,y） （新概念）——集合函数（泛函）——广义函数（δ函数）——......上述过程实际上就是演绎思维弱抽象的例子.
演绎法中最常见的是三段论法，即大前提 —— 一般规律；小前提 —— 个别事实；结论 —— 可预测结果。演绎法最经典的例子是大家熟知的亚里士多德三段论，“所有人都会死，苏格拉底是人，所以苏格拉底会死”。
演绎法是逻辑思维的基础，如果没掌握好，所有想法和观点都是扯淡，整个言论就会像豆腐渣工程，经不起推敲，一推就倒...，比如那些层出不穷的“神逻辑”。例如“神逻辑”：“你别看 XXX 捐了多少钱，他只是为了逃税/图个虚名罢了…”
为什么会出现错误？演绎推理的正确与否首先取决于大前提（一般规律）的正确与否，如果大前提错了，结论自然不会正确。只有在规律、事实与推理形式三者皆合理的前提下，推断才能成立。
再以函数为例给出强抽象的例子.连续性问题解决后,出现了可微性问题.f(x)=|x|是连续但在0点不可微的例子.问题:连续函数至少有一个可微点?
Weiestrauss(维尔斯特拉斯）构造了一个处处连续但处处不可微的例子,
这个例子让数学家惊叹:直观似乎告诉我们不可能有这种函数,直观欺骗了我们.
再以函数为例给出强抽象的例子.
连续性问题解决后,出现了可微性问题.f(x)=|x|是连续但在0点不可微的例子.
问题:连续函数至少有一个可微点? Weiestrauss(维尔斯特拉斯）构造了一个处处连续但处处不可微的例子,函数——连续函数——不可微函数——处处连续处处不可微函数。强抽象过程。但抽象性依然很强。
三、类比法
根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理。
比如，我知道小明同学来自中国，他喜欢下棋，他数学不错；而另一位小亮同学也来自中国，也喜欢下棋，从而推断小亮同学数学应该也不错。
类比法可以看成是归纳法的一个特例，比如把这个例子修改一下，来了99个中国孩子都喜欢下棋，而且数学都好，那么得出一个结论：所有来自中国且喜欢下棋的孩子数学都好。就是归纳法了。
可以看到类比法也是不严密的，同样属于“不保真推理”。英美法律里的判例法，就用到类比的思想——“同类案件相同对待”。突然想起很小很小的时候陪我妈看过一部印度电影“流浪者”（问孩子的爷爷奶奶辈应该都知道），剧中对主人翁是否偷东西没有确凿证据，但法官还是给他判了刑，其依据就是之前有过强盗的儿子是强盗的先例，所以主人翁的爸爸是贼，那么他也应该是贼。
例如网红考题，找规律、类比、因果关系判断：
运用类比法，观察1、2、3行的图形，第一行，三个图形都是由几条线段和中间一个点组成，其中第三个图形是前两个叠加后去掉重合的线段构成的；第二行也如此；那么，第三行，同样具备了“图形都是由几条线段和中间一个点组成”这个属性，因此我们可以推断它的另一属性也和前两行相同，所以答案是4。
类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想），在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质。
类比推理，切忌生拉硬扯，如我们常说的一些谚语，比如“子不嫌母丑，狗不嫌家贫”，“苍蝇不叮无缝的蛋”等等，都是用的类比推理，这些话真的很有道理吗？
值得人们注意的是，在生活中使用类比时，经常会忘记了类比推理的或然性，经常把类比的结论当成了必然。甚至生拉硬扯，乱比一气。又如谈到取消户口管制、自由迁徙问题，有人就说，那全世界为什么不能自由迁徙？美国应该打开国门，让外国人自由迁入。这种说法混淆了国际关系与国内关系的不同。
再比如，对于移民到西方发达国家的一些中国人，或者经常批评中国现状的同胞，一些人常常用一句谚语来教育他们要爱国：“子不嫌母丑，狗不嫌家贫。”但这种思维是有问题的，这个推理是站不住脚的，孩子和狗是两回事情，国民和狗之间的差别则更大。狗不嫌家贫和母子关系、国家与人民的关系没有什么可比性，硬把他们归在一类，其实是生拉硬扯。再者，丑和贫都是没有道德内涵的词语，如果是一个虐待儿童的恶母呢，还能要求孩子爱她吗？如果养狗的是一个残忍无情的屠夫呢，狗难道不能嫌吗？
在我们的生活中，很多流传久远的成语、谚语都是用类比的方式。如“无风不起浪”、“苍蝇不叮无缝的蛋”等等，这些说法同样是有问题的，是不能把它们当成真理的。无风也会起浪，印度洋海啸的浪大吧，不是风引起的；苍蝇也会叮无缝的蛋，只需给蛋抹上狗屎就行了，许多人正是通过造谣生事来诋毁别人的。
数学的抽象方法很多，需要学习和实践逐步加深了解，在你领会的同时，抽象思维能力就得到了加强和提高。需要说明的是，逻辑思维是抽象思维，但抽象思维不一定是逻辑的。数学的逻辑性特点使得数学训练直接有利于发展人的逻辑思维，其作用特别突出。因此在平时数学学习中加强数学思维发展，强化逻辑思维能力，别让你的孩子成为潜在差生
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