一、精心选一选(每小题3分,共30分)
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,sinA=13,则BC的长为(B)
A.45 B.5 C.15 D.145
2.已知⊙O的半径为1,圆心O到直线l的距离为2,过l上任一点A作⊙O的切线,切点为B,则线段AB长度的最小值为(C)
A.1 B.2 C.3 D.2
3.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图,其中AB,CD分别表示一楼、二楼地面的水平线,∠ABC=150°,BC的长是8 m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是(B)
A.833 m B.4 m C.43 m D.8 m
,第3题图) ,第4题图) ,第5题图) ,第6题图)
4.如图,PA,PB是⊙O的两条切线,切点分别是A,B,如果OP=4,PA=23,那么∠APB等于(D)
A.90° B.100° C.110° D.60°
5.函数y=-x2+2(m-1)x+m+1的图象如图,它与x轴交于A,B两点,线段OA与OB的比为1∶3,则m的值为(D)
A.13或2 B.13 C.1 D.2
6.如图,一根5 m长的绳子,一端拴在围墙墙角的柱子上,另一端拴着一只小羊A(羊只能在草地上活动)那么小羊A在草地上的活动区域面积是(D)
A.1712π m2 B.176π m2 C.254π m2 D.7712π m2
7.某商人将单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,已知这种商品每提高2元,其销量就要减少10件,为了使每天所赚利润最多,该商人应将销售价(为偶数)提高(A)
A.8元或10元 B.12元 C.8元 D.10元
8.如图,在△ABC中,cosB=22,sinC=35,AC=5,则△ABC的面积是(A)
A.212 B.12 C.14 D.21
,第8题图) ,第9题图) ,第10题图)
9.如图,射线QN与等边△ABC的两边AB,BC分别交于点M,N,且AC∥QN,AM=MB=2 cm,QM=4 cm.动点P从Q出发,沿射线QN以每秒1 cm 的速度向右移动,经过t秒,以点P为圆心,3cm为半径与△ABC的边相切(切点在边上),则t(单位:秒)可以取的一切值为(D)
A.t=2 B.3≤t≤7
C.t=8 D.t=2或3≤t≤7或t=8
10.如图,点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点,在以下判断中,不正确的是(C)
A.当弦PB最长时,△APC是等腰三角形 B.当△APC是等腰三角形时,PO⊥AC
C.当PO⊥AC时,∠ACP=30° D.当∠ACP=30°时,△BPC是直角三角形
二、细心填一填(每小题3分,共24分)
11.已知锐角A满足关系式2sin2A-3sinA+1=0,则sinA的值为__12__.
12.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2,1),且经过点B(1,0),则抛物线的函数表达式为__y=-x2+4x-3__.
13.(•绍兴)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,点P在以C为圆心,5为半径的圆上,连接PA,PB.若PB=4,则PA的长为__3或73__.
14.如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,E为BC︵上一点,若∠CEA=28°,则∠ABD=__28°__.
,第14题图) ,第15题图) ,第16题图) ,第17题图) ,第18题图)
15.如图,已知AB是⊙O的直径,BC为弦,∠ABC=30°,过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D,连接DC,则∠DCB=__30°__.
16.如图,⊙A,⊙B,⊙C两两不相交,且半径都是0.5 cm,则图中三个扇形(即三个阴影部分)的面积之和为__π8cm2__.
17.如图,把抛物线y=x2沿直线y=x平移2个单位后,其顶点在直线上的A处,则平移后的抛物线表达式是__y=(x-1)2+1__.
18.(•张家界)如图,AB,CD是半径为5的⊙O的两条弦,AB=8,CD=6,MN是直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,P为EF上的任意一点,则PA+PC的最小值为__72__.
三、用心做一做(共66分)
19.(8分)计算:
(1)sin45°+cos60°3-2cos60°-sin60°(1-cos30°);(2)cos30°sin60°-cos45°-(2-tan60°)2+tan45°.
解:1+24-32 解:2+6+3
20.(8分)如图,一大桥的桥拱为抛物线形,跨度AB=50米,拱高(即顶点C到AB的距离)为20米,求桥拱所在抛物线的表达式.
解:y=-4125(x-25)2
21.(8分)(•黄石)如图所示,体育场内一看台与地面所成夹角为30°,看台最低点A到点B的距离为103米,A,B两点正前方有垂直于地面的旗杆DE,在A,B两点处用仪器测量旗杆顶端E的仰角分别为60°和15°(仰角即视线与水平线的夹角).
(1)求AE的长;
(2)已知旗杆上有一面旗在离地面1米的F点处,这面旗以0.5米/秒的速度匀速上升,求这面旗到达旗杆顶端需要多少秒?
解:(1)∵BG∥CD,∴∠GBA=∠BAC=30°.又∠GBE=15°,∴∠ABE=45°.∵∠EAD=90°,∴∠AEB=45°,∴AB=AE=103(2)在Rt△ADE中,∵∠EDA=90°,∠EAD=60°,AE=103,∴DE=15.又DF=1,∴FE=14.∴t=140.5=28(秒).故这面旗到达旗杆顶端需要28秒
22.(10分)如图,P为正比例函数y=32x图象上的一个动点,⊙P的半径为3,设点P的坐标为(x,y).
(1)求⊙P与直线x=2相切时点P的坐标;
(2)请直接写出⊙P与直线x=2相交、相离时x的取值范围.
解:(1)过P作直线x=2的垂线,垂足为A.当点P在直线x=2右侧时,AP=x-2=3,得x=5,∴P5,152;当点P在直线x=2左侧时,PA=2-x=3,得x=-1,∴P-1,-32,∴当⊙P与直线x=2相切时,点P的坐标为5,152或-1,-32(2)当-1
23.(8分)(•武汉)如图,AB是⊙O的直径,∠ABT=45°,AT=AB.
(1)求证:AT是⊙O的切线.
(2)连接OT交⊙O于点C,连接AC,求tan∠TAC的值.
解:(1)∵AB=AT,∴∠ABT=∠ATB=45°,∴∠BAT=90°,即AT为⊙O的切线(2)如图,过点C作CD⊥AB于点D.则∠TAC=∠ACD,tan∠TOA=ATAO=CDOD=2,设OD=x,则CD=2x,OC=5x=OA,∵AD=AO-OD=(5-1)x,
∴tan∠TAC=tan∠ACD=ADCD=(5-1)x2x=5-12
24.(12分)某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降价1元,每天就可以多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.
(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数表达式;
(2)当销售单价为多少元时,每天的销售利润?利润是多少?
(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4 000元,且每天的总成本不超过7 000元,那么销售单价应控制在什么范围内?(每天的总成本=每件的成本×每天的销售量)
解:(1)y=(x-50)[50+5(100-x)]=(x-50)(-5x+550)=-5x2+800x-27 500(2)y=-5x2+800x-27 500=-5(x-80)2+4 500.∵-5<0,∴抛物线开口向下.∵50≤x≤100,对称轴是直线x=80,∴当x=80时,y=4 500.∴当销售单价为80元时,每天的销售利润,利润是4 500元(3)当y=4 000时,-5(x-80)2+4 500=4 000,解得x1=70,x2=90.∴当70≤x≤90时,每天的销售利润不低于4 000元.由每天的总成本不超过7 000元,得50(-5x+550)≤7 000,解得x≥82,∴82≤x≤90(满足50≤x≤100),∴销售单价应该控制在82元至90元之间
25.(12分)(•丽水)某乒乓球馆使用发球机进行铺助训练,出球口在桌面中线端点A处的正上方,假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变,且落在中线上,在乒乓球运行时,设乒乓球与端点A的水平距离为x(米),与桌面的高度为y(米),运行时间为t(秒),经多次测试后,得到如下部分数据:
t(秒) 0 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 …
x(米) 0 0.4 0.5 1 1.5 0.6 2 …
y(米) 0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 …
(1)当t为何值时,乒乓球达到高度?
(2)乒乓球落在桌面时,与端点A的水平距离是多少?
(3)乒乓球落在桌面上弹起后,y与x满足y=a(x-3)2+k.
①用含a的代数式表示k;
②球网高度为0.14米,球桌长(1.4×2)米.若球弹起后,恰好有的击球点,可以将球沿直线扣杀到点A,求a的值.
解:以点A为原点,以桌面中线为x轴,乒乓球水平运动方向为正方向,建立平面直角坐标系.(1)由表格中的数据,可得当t为0.4秒时,乒乓球达到高度(2)由表格中数据,可画出y关于x的图象,根据图象的形状,可判断y是x的二次函数.可设y=a(x-1)2+0.45.将(0,0.25)代入,可得a=-15,∴y=-15(x-1)2+0.45.当y=0时,x1=52,x2=-12(舍去),即乒乓球与端点A的水平距离是52米(3)①由(2)得乒乓球落在桌面上时,对应的点为(52,0).代入y=a(x-3)2+k,得(52-3)2a+k=0,化简整理,得k=-14a.②由题意知,扣杀路线在直线y=110x上.由①得y=a(x-3)2-14a.令a(x-3)2-14a=110x,整理,得20ax2-(120a+2)x+175a=0.当Δ=(120a+2)2-4×20a×175a=0时符合题意,解得a1=-6+3510,a2=-6-3510.当a1=-6+3510时,求得x=-352,不符合题意,舍去;当a2=-6-3510时,求得x=352,符合题意.答:当a= 时,能恰好将球沿直线扣杀到点A
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