(一)胡维兹公式:1、公式:(0<a≤1、s<1)
ζ(s,a)=2(2π)s-1Γ(1-s)∑(n=1…∞)[sin(πs/2+2nπa)ns-1]
2、成立条件:
(1)当a=1时,s<0。
(2)当0<a<1时,s<1。
(3)当0<a<1、0<s<1时,用于证明。
3、有关定义:
(1)s>1、a>0:
Γ(s)ζ(s,a)=Γ(s)∑(n=0…∞)(n+a)-s
=Γ(s)∫(0,1)[ta-1/(1-t)](-lnt)s-1dt
=Γ(s)∫(0,∞)[e(1-a)x/(ex-1)]xs-1dx
(2)0<s<1、a>0:
Γ(s)ζ(s,a)=Γ(s)∫(0,∞)[e(1-a)x/(ex-1)-1/x]xs-1dx
(二)公式推论(0<a<1、s<1)
1、ζ(s,1-a)=2(2π)s-1Γ(1-s)∑(n=1…∞)[sin(πs/2-2nπa)ns-1]
2、ζ(s,a)+ζ(s,1-a)=4(2π)s-1Γ(1-s)sin(πs/2)∑(n=1…∞)[cos(2nπa)ns-1]
3、ζ(s,a)-ζ(s,1-a)=4(2π)s-1Γ(1-s)cos(πs/2)∑(n=1…∞)[sin(2nπa)ns-1]
4、将推论3取对a的偏导数,即得推论2。
5、(a→+0、s>0)ζ(s,a)=∞; (a→+0、s<0)ζ(s,a)=0。
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