动点问题分单点运动和双点运动,是中考的热点问题 .
解决此类题要“以静制动”,即把动态问题变为静态的问题去解决,
解题时用运动的眼光去观察研究问题,挖掘运动变化过程中的不变量、不变关系.
【例题】如图所示,在直角坐标系中,点 A,B,C 的坐标分别为 (-1,0),(3,0),(0,3),
过 A,B,C 三点的抛物线的对称轴为直线 l,D 为对称轴 l 上一动点.
(1) 求抛物线的解析式;
(2) 求当 AD+CD 最小时点 D 的坐标;
(3) 以点 A 为圆心,以 AD 为半径作 ⊙A.
① 证明:当 AD+CD 最小时,直线 BD 与 ⊙A 相切;
② 写出直线 BD 与 ⊙A 相切时,D 点的另一个坐标.
【思路点拨】
(1) 根据 A、B 两点在 x 轴上,可设交点式求抛物线的解析式.
(2) 要 AD + CD 最小,根据两点之间线段最短,可判定 D 点位置,从而求出点 D 坐标.
(3) 要让 BD 与 ⊙A 相切,只需证 AD⊥BD,由圆的对称性,可直接写出 D 点另一个坐标.
【答案与解析】
(1) 设抛物线的解析式为 y=a( x + 1 )( x - 3 ).
将 C(0,3) 代入上式,得 3=a( 0 + 1 )( 0 - 3 ).
解得 a=-1.
∴ 抛物线的解析式为 y=- ( x + 1 )( x - 3 ),
即 y = - x2 + 2x + 3.
(2) 连接 BC,交直线于点 D′.
∵ 点 B 与点 A 关于直线 l 对称,
∴ AD′=BD′.
∴ AD′ + CD′= BD′ + CD′=BC.
由 “两点之间,线段最短” 的原理可知:此时 AD′ + CD′ 最小,点 D′ 的位置即为所求.
设直线 BC 的解析式为 y=kx + b,
由直线 BC 过点 (3,0),(0,3),
∴ 直线 BC 的解析式为 y=- x + 3.
∵ 对称轴为 x=1.将 x=1 代入 y=- x + 3,得 y=-1 + 3 = 2.
∴ 点 D 的坐标为 (1,2).
(3)
① 连接 AD.
设直线 l 与 x 轴的交点为点 E.
由 (2) 知:当 AD+CD 最小时,点 D 的坐标为 (1,2).
∵ DE=AE=BE=2,
∴ ∠DAB=∠DBA=45°,
∴ ∠ADB=90°.
∴ AD⊥BD.
∴ BD与 ⊙A 相切.
② (1,-2).
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