问题补充:
已知可导函数f(x)的导函数为g(x),且满足:①[g(x)-1](x-2)>0;②f(2-x)-f(x)=2-2x,记a=f(4)-3,b=f(e)-e+1,c=f(-1)+2,则a,b,c的大小顺序为A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.a>c>b
答案:
D
解析分析:比较a,b,c的大小,想到利用函数的单调性,由b=f(e)-e+1和[g(x)-1](x-2)>0想到构造函数h(x)=f(x)-x+1,求导,根据[g(x)-1](x-2)>0可判断函数h(x)的单调性,并对a=f(4)-3、c=f(-1)+2进行等价变形为a=f(4)-4+1、c=f(3)-3+1,根据函数的单调性即可得出a,b,c的大小.
解答:∵f(2-x)-f(x)=2-2x是减函数,根据复合函数的单调性知函数f(x)增函数,令h(x)=f(x)-x+1则h′(x)=f′(x)-1=g(x)-1,∵[g(x)-1](x-2)>0∴当x>1时,g(x)-1>0,∴h(x)在(1,+∞)上单调递增;而a=f(4)-3=a=f(4)-4+1c=f(-1)+2=f(3)+2-2×3+2=f(3)-2=f(3)-3+1∴f(4)-4+1>f(3)-3+1>f(e)-e+1;即a>c>b,故选D.
点评:此题是个难题.考查利用导数研究函数的单调性,体现了函数的思想,综合性强.同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力.
已知可导函数f(x)的导函数为g(x) 且满足:①[g(x)-1](x-2)>0;②f(2-x)-f(x)=2-2x 记a=f(4)-3 b=f(e)-e+1 c=f
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