问题补充:
设函数f(x)的定义域是R,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)?f(n),且当x>0?时,0<f(x)<1.
(Ⅰ)若f(1)=,求的值;
(Ⅱ)求证:f(0)=1,且当x<0时,有f(x)>1;
(Ⅲ)判断f(x)在R上的单调性,并加以证明.
答案:
解:(1)令m=n=1,则f(2)=f(1)f(1)=,
∴=
(2)证明:①令y=0,x=1,得f(1)=f(1)f(0)
∵x>0时,0<f(x)<1,
∴f(1)>0…
∴f(0)=1
②当x<0时,则-x>0,
令y=-x,得f(0)=f(x)f(-x)
得
由于当x>0时,0<f(x)<1
则0<f(-x)<1,即>1
故当x<0时,有f(x)>1
(3)函数f(x)在R上是单调递减函数
证明如下:设x1,x2∈R,且x1<x2,
则x2-x1<0,∴0<f(x2-x1)<1
∴f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)f(x1)<f(x1)
∴函数f(x)在R上是单调递减函数.
解析分析:(1)利用赋值法,对于任意正实数m,n恒有f(m+n)=f(m)?f(n),可令m=n=1,先求出f(2),然后由f(1)=,即可求出的值;
(2)赋值求出f(0)=1,令m=x,n=-x,代入恒等式即得证;
(3)先在定义域内任取两个值x1,x2,并规定大小,然后判定出f(x1),与f(x2)的大小关系,根据单调增函数的定义可知结论;
点评:本题主要考查了抽象函数及其应用,以及函数单调性的判断与证明,属于中档题.
设函数f(x)的定义域是R 对于任意实数m n 恒有f(m+n)=f(m)?f(n) 且当x>0?时 0<f(x)<1.(Ⅰ)若f(1)= 求的值;(Ⅱ)求证:f(0
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