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5.4 复倒谱和倒谱 定义 设信号x(n)的z变换为X(z) = z[x(n)],其对数为: (1) 那么 的逆z变换可写成: (2) 取 (1)式则有 (3) 于是式子(2)则可以写成 (4) 则式子(4)即为信号x(n)的复倒谱 的定义。因为 一般为复数,故称 为复倒谱。如果对 的绝对取对数,得 (5)
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5.4 复倒谱和倒谱
定义
设信号x(n)的z变换为X(z) = z[x(n)],其对数为:
(1)
那么的逆z变换可写成:
(2)
取(1)式则有
(3)
于是式子(2)则可以写成
(4)
则式子(4)即为信号x(n)的复倒谱的定义。因为一般为复数,故称为复倒谱。如果对的绝对值取对数,得
(5)
则为实数,由此求出的倒频谱c(n)为实倒谱,简称为倒谱,即
(6)
在(3)式中,实部是可以取唯一值的,但对于虚部,会引起唯一性问题,因此要求相角为w的连续奇函数。
性质:
为判断复倒谱的性质,研究有理z变换的一般形式即可。z变换的一般形式为
其中,的绝对值皆小于1,A是一个非负数系数。因此,和项对应于单位圆内的零点和极点,和项对应于单位圆外的零点和极点,Mi和M0分别表示单位圆内和外的零点数目,Ni和N0分别表示单位圆内和外的极点数目,因子简单地表示时间原点的移动。于是,X(z)的复对数为:
在讨论复倒谱的性质时可以写为以下形式:
性质1:即使x(n)可以满足因果性、稳定性、甚至持续期有限的条件,一般而言复倒谱也是非零的,而且在正负n两个方向上都是无限延展的。
性质2:复倒谱是一个有界衰减序列,其界限为:
其中,a是的最大绝对值,而是一个常数。
性质3:如果X(z)在单位圆外无极点和零点(即),则有
这种信号称为“最小相位”信号。
性质4:对于X(z)在单位圆内没有极点或零点的情形,可以得到“最大相位”信号,有
性质5:如果输入信号为一串冲激信号,它具有如下形式:
这就意味着其也是一个间隔为Np的冲激串。
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