UA MATH563 概率论的数学基础 中心极限定理17 0-1律的应用
第14讲到第16讲我们介绍了Kolmogorov非常著名的几大定理(如下),事实上Kolmogorov开发出这些定理的目标是证明强大数定律(第十二讲):
强大数定律(SLLN by Kolmogorov)假设X1,⋯,Xn,n≥1X_1,\cdots,X_n,n\ge 1X1,⋯,Xn,n≥1是iid的随机变量,E∣X1∣<∞E|X_1|<\inftyE∣X1∣<∞,则
Xˉ→asEX1\bar X \to_{as} EX_1Xˉ→asEX1
显然根据Kolmogorov 3-series Theorem,我们很容易就能得到这个结果。但Kolmogorov开发出的这些定理在实践中都具有非常广泛的应用,这一讲我们介绍一个例题。
Kolmogorov maximal inequality
假设X1,⋯,XnX_1,\cdots,X_nX1,⋯,Xn是独立的随机变量,并且EXi=0,VarXi<∞EX_i=0,Var X_i<\inftyEXi=0,VarXi<∞,则
P(max1≤k≤n∣Sk∣≥x)≤Var(Sn)x2P(\max_{1 \le k \le n} |S_k| \ge x) \le \frac{Var(S_n)}{x^2}P(1≤k≤nmax∣Sk∣≥x)≤x2Var(Sn)
其中
Sk=∑i=1kXiS_k = \sum_{i=1}^k X_iSk=i=1∑kXi
Kolmogorov 0-1律
假设{Xj}j≥1\{X_j\}_{j \ge 1}{Xj}j≥1独立,则τ\tauτ是一个trivial σ\sigmaσ-代数,即
∀A∈τ,P(A)=0or1\forall A \in \tau,P(A)=0\ or \ 1∀A∈τ,P(A)=0or1
Kolmogorov 3-series Theorem
假设{Xi}i≥1\{X_i\}_{i \ge 1}{Xi}i≥1独立,A>0A > 0A>0,定义Yi=Xi1∣Xi∣≤AY_i = X_i1_{|X_i| \le A}Yi=Xi1∣Xi∣≤A,则∑n≥1Xn\sum_{n \ge 1}X_n∑n≥1Xn几乎必然收敛的充要条件是:
∑n≥1P(∣Xn∣>A)<∞\sum_{n \ge 1}P(|X_n| > A)<\infty∑n≥1P(∣Xn∣>A)<∞∑n≥1E[Yn]\sum_{n \ge 1}E[Y_n]∑n≥1E[Yn]收敛∑n≥1Var(Yn)\sum_{n \ge 1}Var(Y_n)∑n≥1Var(Yn)收敛
例1
假设YiY_iYi是独立的Bernoulli随机变量,P(Yi=1)=pi,P(Yi=0)=1−piP(Y_i=1)=p_i,P(Y_i=0)=1-p_iP(Yi=1)=pi,P(Yi=0)=1−pi, pi=1/i,i≥1p_i=1/i,i\ge 1pi=1/i,i≥1,∑i≥1Yi\sum_{i \ge 1}Y_i∑i≥1Yi会几乎必然收敛吗?
方法一:
我们先用Kolmogorov 0-1律分析,因为∑i≥1Yi\sum_{i \ge 1}Y_i∑i≥1Yi是τ\tauτ-可测的,于是∑i≥1Yi\sum_{i \ge 1}Y_i∑i≥1Yi依概率1收敛或者依概率1发散。我们需要确定就是到底是哪一种情况。
记Ai={Yi=1}A_i=\{Y_i=1\}Ai={Yi=1},则AiA_iAi是独立事件,因为
∑P(Ai)=∑P(Yi=1)=∑1/i=∞\sum P(A_i) = \sum P(Y_i=1) = \sum 1/i = \infty∑P(Ai)=∑P(Yi=1)=∑1/i=∞
(Borel-Cantelli引理2如果AnA_nAn互相独立,且∑n≥1P(An)=∞\sum_{n \ge 1}P(A_n) = \infty∑n≥1P(An)=∞,则P(Ani.o.)=1P(A_n\ i.o.)=1P(Ani.o.)=1)
根据Borel-Cantelli引理2,
P(Aii.o.)=1P(A_i\ i.o.)=1P(Aii.o.)=1
于是{Yi}\{Y_i\}{Yi}的realization中无限个1,因此∑i≥1Yi\sum_{i \ge 1}Y_i∑i≥1Yi依概率1发散。
方法二:
∑P(∣Yn∣>1)=0∑nE[Yn]=∑1/n=∞∑Var(Yn)=∑n−1n2=∞\sum P(|Y_n|>1) = 0 \\ \sum_n E[Y_n]=\sum 1/n=\infty \\ \sum Var(Y_n) = \sum \frac{n-1}{n^2} = \infty∑P(∣Yn∣>1)=0n∑E[Yn]=∑1/n=∞∑Var(Yn)=∑n2n−1=∞
于是,根据Kolmogorov 3-series Theorem,∑nYn\sum_n Y_n∑nYn依概率1发散。
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