UA MATH563 概率论的数学基础 中心极限定理17 0-1律的应用

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第14讲到第16讲我们介绍了Kolmogorov非常著名的几大定理（如下），事实上Kolmogorov开发出这些定理的目标是证明强大数定律（第十二讲）：

强大数定律(SLLN by Kolmogorov)假设X1,⋯,Xn,n≥1X_1,\cdots,X_n,n\ge 1X1​,⋯,Xn​,n≥1是iid的随机变量，E∣X1∣<∞E|X_1|<\inftyE∣X1​∣<∞，则

Xˉ→asEX1\bar X \to_{as} EX_1Xˉ→as​EX1​

显然根据Kolmogorov 3-series Theorem，我们很容易就能得到这个结果。但Kolmogorov开发出的这些定理在实践中都具有非常广泛的应用，这一讲我们介绍一个例题。

Kolmogorov maximal inequality

假设X1,⋯,XnX_1,\cdots,X_nX1​,⋯,Xn​是独立的随机变量，并且EXi=0,VarXi<∞EX_i=0,Var X_i<\inftyEXi​=0,VarXi​<∞，则

P(max⁡1≤k≤n∣Sk∣≥x)≤Var(Sn)x2P(\max_{1 \le k \le n} |S_k| \ge x) \le \frac{Var(S_n)}{x^2}P(1≤k≤nmax​∣Sk​∣≥x)≤x2Var(Sn​)​

其中

Sk=∑i=1kXiS_k = \sum_{i=1}^k X_iSk​=i=1∑k​Xi​

Kolmogorov 0-1律

假设{Xj}j≥1\{X_j\}_{j \ge 1}{Xj​}j≥1​独立，则τ\tauτ是一个trivial σ\sigmaσ-代数，即

∀A∈τ,P(A)=0or1\forall A \in \tau,P(A)=0\ or \ 1∀A∈τ,P(A)=0or1

Kolmogorov 3-series Theorem

假设{Xi}i≥1\{X_i\}_{i \ge 1}{Xi​}i≥1​独立，A>0A > 0A>0，定义Yi=Xi1∣Xi∣≤AY_i = X_i1_{|X_i| \le A}Yi​=Xi​1∣Xi​∣≤A​，则∑n≥1Xn\sum_{n \ge 1}X_n∑n≥1​Xn​几乎必然收敛的充要条件是：

∑n≥1P(∣Xn∣>A)<∞\sum_{n \ge 1}P(|X_n| > A)<\infty∑n≥1​P(∣Xn​∣>A)<∞∑n≥1E[Yn]\sum_{n \ge 1}E[Y_n]∑n≥1​E[Yn​]收敛∑n≥1Var(Yn)\sum_{n \ge 1}Var(Y_n)∑n≥1​Var(Yn​)收敛

例1

假设YiY_iYi​是独立的Bernoulli随机变量，P(Yi=1)=pi,P(Yi=0)=1−piP(Y_i=1)=p_i,P(Y_i=0)=1-p_iP(Yi​=1)=pi​,P(Yi​=0)=1−pi​, pi=1/i,i≥1p_i=1/i,i\ge 1pi​=1/i,i≥1，∑i≥1Yi\sum_{i \ge 1}Y_i∑i≥1​Yi​会几乎必然收敛吗？

方法一：

我们先用Kolmogorov 0-1律分析，因为∑i≥1Yi\sum_{i \ge 1}Y_i∑i≥1​Yi​是τ\tauτ-可测的，于是∑i≥1Yi\sum_{i \ge 1}Y_i∑i≥1​Yi​依概率1收敛或者依概率1发散。我们需要确定就是到底是哪一种情况。

记Ai={Yi=1}A_i=\{Y_i=1\}Ai​={Yi​=1}，则AiA_iAi​是独立事件，因为

∑P(Ai)=∑P(Yi=1)=∑1/i=∞\sum P(A_i) = \sum P(Y_i=1) = \sum 1/i = \infty∑P(Ai​)=∑P(Yi​=1)=∑1/i=∞

(Borel-Cantelli引理2如果AnA_nAn​互相独立，且∑n≥1P(An)=∞\sum_{n \ge 1}P(A_n) = \infty∑n≥1​P(An​)=∞，则P(Ani.o.)=1P(A_n\ i.o.)=1P(An​i.o.)=1)

根据Borel-Cantelli引理2，

P(Aii.o.)=1P(A_i\ i.o.)=1P(Ai​i.o.)=1

于是{Yi}\{Y_i\}{Yi​}的realization中无限个1，因此∑i≥1Yi\sum_{i \ge 1}Y_i∑i≥1​Yi​依概率1发散。

方法二：

∑P(∣Yn∣>1)=0∑nE[Yn]=∑1/n=∞∑Var(Yn)=∑n−1n2=∞\sum P(|Y_n|>1) = 0 \\ \sum_n E[Y_n]=\sum 1/n=\infty \\ \sum Var(Y_n) = \sum \frac{n-1}{n^2} = \infty∑P(∣Yn​∣>1)=0n∑​E[Yn​]=∑1/n=∞∑Var(Yn​)=∑n2n−1​=∞

于是，根据Kolmogorov 3-series Theorem，∑nYn\sum_n Y_n∑n​Yn​依概率1发散。

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