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数据结构与算法(4)——优先队列和堆

时间：2022-09-30 06:10:33

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数据结构与算法(4)——优先队列和堆

前言：题图无关，接下来开始简单学习学习优先队列和堆的相关数据结构的知识；

前序文章：

数据结构与算法(1)——数组与链表（/p/7b93b3570875）数据结构与算法(2)——栈和队列(/p/5087c751cb42)数据结构与算法(3)——树（二叉、二叉搜索树）(/p/4ef1f50d45b5)

什么是优先队列？

听这个名字就能知道，优先队列也是一种队列，只不过不同的是，优先队列的出队顺序是按照优先级来的；在有些情况下，可能需要找到元素集合中的最小或者最大元素，可以利用优先队列ADT来完成操作，优先队列ADT是一种数据结构，它支持插入和删除最小值操作（返回并删除最小元素）或删除最大值操作（返回并删除最大元素）；

这些操作等价于队列的enQueue和deQueue操作，区别在于，对于优先队列，元素进入队列的顺序可能与其被操作的顺序不同，作业调度是优先队列的一个应用实例，它根据优先级的高低而不是先到先服务的方式来进行调度；

如果最小键值元素拥有最高的优先级，那么这种优先队列叫作升序优先队列（即总是先删除最小的元素），类似的，如果最大键值元素拥有最高的优先级，那么这种优先队列叫作降序优先队列（即总是先删除最大的元素）；由于这两种类型时对称的，所以只需要关注其中一种，如升序优先队列；

优先队列ADT

下面操作组成了优先队列的一个ADT；

1.优先队列的主要操作

优先队列是元素的容器，每个元素有一个相关的键值；

insert(key, data)：插入键值为key的数据到优先队列中，元素以其key进行排序；deleteMin/deleteMax：删除并返回最小/最大键值的元素；getMinimum/getMaximum：返回最小/最大剑指的元素，但不删除它；

2.优先队列的辅助操作

第k最小/第k最大：返回优先队列中键值为第k个最小/最大的元素；大小（size）：返回优先队列中的元素个数；堆排序（Heap Sort）：基于键值的优先级将优先队列中的元素进行排序；

优先队列的应用

数据压缩：赫夫曼编码算法；最短路径算法：Dijkstra算法；最小生成树算法：Prim算法；事件驱动仿真：顾客排队算法；选择问题：查找第k个最小元素；等等等等....

优先队列的实现比较

堆和二叉堆

什么是堆

堆是一颗具有特定性质的二叉树，堆的基本要求就是堆中所有结点的值必须大于或等于（或小于或等于）其孩子结点的值，这也称为堆的性质；堆还有另一个性质，就是当 h > 0 时，所有叶子结点都处于第 h 或 h - 1 层（其中 h 为树的高度，完全二叉树），也就是说，堆应该是一颗完全二叉树；

在下面的例子中，左边的树为堆（每个元素都大于其孩子结点的值），而右边的树不是堆（因为5大于其孩子结点2）

二叉堆

在二叉堆中，每个结点最多有两个孩子结点，在实际应用中，二叉堆已经足够满足需求，因此接下来主要讨论二叉最小堆和二叉最大堆；

堆的表示：在描述堆的操作前，首先来看堆是怎样表示的，一种可能的方法就是使用数组，因为堆在形式上是一颗完全二叉树，用数组来存储它不会浪费任何空间，例如下图：

用数组来表示堆不仅不会浪费空间还具有一定的优势：

每个结点的左孩子为下标i的2倍：left child(i) = i * 2；每个结点的右孩子为下标i的2倍加1：right child(i) = i * 2 + 1每个结点的父亲结点为下标的二分之一：parent(i) = i / 2，注意这里是整数除，2和3除以2都为1，大家可以验证一下；注意：这里是把下标为0的地方空出来了的，主要是为了方便理解，如果0不空出来只需要在计算的时候把i值往右偏移一个位置就行了（也就是加1，大家可以试试，下面的演示也采取这样的方式）；

二叉堆的相关操作

堆的基本结构

public class MaxHeap<E extends Comparable<E>> {private Array<E> data;public MaxHeap(int capacity){ data = new Array<>(capacity); }public MaxHeap(){ data = new Array<>(); }// 返回堆中的元素个数public int size(){ return data.getSize(); }// 返回一个布尔值, 表示堆中是否为空public boolean isEmpty(){ return data.isEmpty(); }// 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的父亲节点的索引private int parent(int index){if(index == 0)throw new IllegalArgumentException("index-0 doesn't have parent.");return (index - 1) / 2;}// 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的左孩子节点的索引private int leftChild(int index){ return index * 2 + 1; }// 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的右孩子节点的索引private int rightChild(int index){ return index * 2 + 2; }}

向堆中添加元素和Sift Up

当插入一个元素到堆中时，它可能不满足堆的性质，在这种情况下，需要调整堆中元素的位置使之重新变成堆，这个过程称为堆化（heapifying）；在最大堆中，要堆化一个元素，需要找到它的父亲结点，如果不满足堆的基本性质则交换两个元素的位置，重复该过程直到每个结点都满足堆的性质为止，下面我们来模拟一下这个过程：

下面我们在该堆中插入一个新的元素26：

我们通过索引（上面的公式）可以很容易地找到新插入元素的父亲结点，然后比较它们的大小，如果新元素更大则交换两个元素的位置，这个操作就相当于把该元素上浮了一下：

重复该操作直到26到了一个满足堆条件的位置，此时就完成了插入的操作：

对应的代码如下：

// 向堆中添加元素public void add(E e){data.addLast(e);siftUp(data.getSize() - 1);}private void siftUp(int k){while(k > 0 && data.get(parent(k)).compareTo(data.get(k)) < 0 ){data.swap(k, parent(k));k = parent(k);}}

取出堆中的最大元素和Sift Down

如果理解了上述的过程，那么取出堆中的最大元素（堆顶元素）将变得容易，不过这里运用到一个小技巧，就是用最后一个元素替换掉栈顶元素，然后把最后一个元素删除掉，这样一来元素的总个数也满足条件，然后只需要把栈顶元素依次往下调整就好了，这个操作就叫做Sift Down（下沉）：

用最后元素替换掉栈顶元素，然后删除最后一个元素：

然后比较其孩子结点的大小：

如果不满足堆的条件，那么就跟孩子结点中较大的一个交换位置：

重复该步骤，直到16到达合适的位置：

完成取出最大元素的操作：

对应的代码如下：

// 看堆中的最大元素public E findMax(){if(data.getSize() == 0)throw new IllegalArgumentException("Can not findMax when heap is empty.");return data.get(0);}// 取出堆中最大元素public E extractMax(){E ret = findMax();data.swap(0, data.getSize() - 1);data.removeLast();siftDown(0);return ret;}private void siftDown(int k){while(leftChild(k) < data.getSize()){int j = leftChild(k); // 在此轮循环中,data[k]和data[j]交换位置if( j + 1 < data.getSize() &&data.get(j + 1).compareTo(data.get(j)) > 0 )j ++;// data[j] 是 leftChild 和 rightChild 中的最大值if(data.get(k).compareTo(data.get(j)) >= 0 )break;data.swap(k, j);k = j;}}

Replace 和 Heapify

Replace这个操作其实就是取出堆中最大的元素之后再新插入一个元素，常规的做法是取出最大元素之后，再利用上面的插入新元素的操作对堆进行Sift Up操作，但是这里有一个小技巧就是直接使用新元素替换掉堆顶元素，之后再进行Sift Down操作，这样就把两次O(logn）的操作变成了一次O(logn)：

// 取出堆中的最大元素，并且替换成元素epublic E replace(E e){E ret = findMax();data.set(0, e);siftDown(0);return ret;}

Heapify翻译过来就是堆化的意思，就是将任意数组整理成堆的形状，通常的做法是遍历数组从0开始添加创建一个新的堆，但是这里存在一个小技巧就是把当前数组就看做是一个完全二叉树，然后从最后一个非叶子结点开始进行Sift Down操作就可以了，最后一个非叶子结点也很好找，就是最后一个结点的父亲结点，大家可以验证一下：

从22这个节点开始，依次开始Sift Down操作：

重复该过程直到堆顶元素：

完成堆化操作：

将n个元素逐个插入到一个空堆中，算法复杂度是O(nlogn)，而heapify的过程，算法复杂度为O(n)，这是有一个质的飞跃的，下面是代码：

public MaxHeap(E[] arr){data = new Array<>(arr);for(int i = parent(arr.length - 1) ; i >= 0 ; i --)siftDown(i);}

基于堆的优先队列

首先我们的队列仍然需要继承我们之前将队列时候声明的哪个接口Queue，然后实现这个接口中的方法就可以了，之类简单写一下：

public class PriorityQueue<E extends Comparable<E>> implements Queue<E> {private MaxHeap<E> maxHeap;public PriorityQueue(){ maxHeap = new MaxHeap<>(); }@Overridepublic int getSize(){ return maxHeap.size(); }@Overridepublic boolean isEmpty(){ return maxHeap.isEmpty(); }@Overridepublic E getFront(){ return maxHeap.findMax(); }@Overridepublic void enqueue(E e){ maxHeap.add(e); }@Overridepublic E dequeue(){ return maxHeap.extractMax(); }}

Java中的PriorityQueue

在Java中也实现了自己的优先队列java.util.PriorityQueue，与我们自己写的不同之处在于，Java中内置的为最小堆，然后就是一些函数名不一样，底层还是维护了一个Object类型的数组，大家可以戳戳看有什么不同，另外如果想要把最小堆变成最大堆可以给PriorityQueue传入自己的比较器，例如：

// 默认为最小堆PriorityQueue<Integer> pq = new PriorityQueue<>();pq.add(5);pq.add(2);pq.add(1);pq.add(10);pq.add(3);while (!pq.isEmpty()) {System.out.println(pq.poll() + ", ");}System.out.println();System.out.println("————————————————————————");// 使用Lambda表达式传入自己的比较器转换成最大堆PriorityQueue<Integer> pq2 = new PriorityQueue<>((a, b) -> b - a);pq2.add(5);pq2.add(2);pq2.add(1);pq2.add(10);pq2.add(3);while (!pq2.isEmpty()) {System.out.println(pq2.poll() + ", ");}

LeetCode相关题目整理

23. 合并K个排序链表

参考答案：（85ms）

public ListNode mergeKLists(ListNode[] lists) {if (lists == null || lists.length == 0) return null;PriorityQueue<ListNode> q = new PriorityQueue<>(paring(node -> node.val));for (int i = 0; i < lists.length; i++) {if (lists[i] != null) {q.add(lists[i]);}}ListNode dummy = new ListNode(0);ListNode tail = dummy;while (!q.isEmpty()) {tail.next = q.poll();tail = tail.next;if (tail.next != null) {q.add(tail.next);}}return dummy.next;}

215. 数组中的第K个最大元素

我的答案：（75ms）

public int findKthLargest(int[] nums, int k) {// 正确性判断if (0 == nums.length || null == nums || k <= 0 || k > nums.length) {return -1;}// 构造优先队列,默认为最小堆,传入自定义的比较器转换成最大堆PriorityQueue<Integer> pq = new PriorityQueue<>((a, b) -> b - a);for (Integer num : nums) {pq.add(num);}for (int i = 0; i < k - 1; i++) {pq.remove();}return pq.peek();}

参考答案：（5ms）

public int findKthLargest(int[] nums, int k) {if (nums.length == 1) {return nums[0];}int max = nums[0];int min = nums[0];for (int i : nums) {max = i > max ? i : max;min = i < min ? i : min;}int[] arrs = new int[max - min + 1];for (int i : nums) {arrs[max - i]++;}int pos = 0;for (int i = 0; i < arrs.length; i++) {pos += arrs[i];if (pos >= k) {return max - i;}}return nums[0];}

还看到一个简单粗暴的，也是服了：（4ms）

public int findKthLargest(int[] nums, int k) {Arrays.sort(nums);return nums[nums.length - k];}

而且我随机生成了一个100万数据的随机数组，来测试这个简单粗暴的方法的效率，发现当数据量上去之后，排序这个操作变得繁琐，我自己测试的时候，上面三个方法，第三个大概比第一个（我自己写的方法）多花仅4倍的时间；

239. 滑动窗口最大值（类似剑指Offer面试题59）

参考答案：（88ms）

public int[] maxSlidingWindow(int[] nums, int k) {if (nums == null || k <= 0) return new int[0];int[] res = new int[nums.length - k + 1];ArrayDeque<Integer> deque = new ArrayDeque<Integer>();int index = 0;for (int i = 0; i < nums.length; i++) {while (!deque.isEmpty() && deque.peek() < i - k + 1) // Ensure deque's size doesn't exceed kdeque.poll();// Remove numbers smaller than a[i] from right(a[i-1]) to left, to make the first number in the deque the largest one in the windowwhile (!deque.isEmpty() && nums[deque.peekLast()] < nums[i])deque.pollLast();deque.offer(i);// Offer the current index to the deque's tailif (i >= k - 1)// Starts recording when i is big enough to make the window has k elements res[index++] = nums[deque.peek()];}return res;}

参考答案2：（9ms）

public int[] maxSlidingWindow(int[] nums, int k) {/*思想：依次遍历数组，有效范围在长度k内寻找当前最大值，在用result数组来依次存储当前长度K内的最大值；若在当前轮中出现新增的nums[end]大于curMax,直接替换即可；如果当前轮curMax不是新增的nums[end]，在新的范围内重置curMax.*/if (nums.length == 0 || k <= 0)return new int[0];int curMax = Integer.MIN_VALUE;for (int i = 0; i < k; i++) {if (nums[i] > curMax)curMax = nums[i];}int[] ans = new int[nums.length - k + 1];ans[0] = curMax;for (int start = 1; start + k - 1 < nums.length; start++) {int end = start + k - 1;if (nums[end] > curMax)curMax = nums[end];else if (nums[start - 1] == curMax) {//新增的不大于curMax，新范围内重置curMax = Integer.MIN_VALUE;for (int i = start; i <= end; i++) {if (nums[i] > curMax)curMax = nums[i];}}ans[start] = curMax;}return ans;}

264. 丑数 II（剑指Offer面试题49）

参考答案：（7ms）

public int nthUglyNumber(int n) {// 正确性判断if (n < 1 || n > 1690) {return -1;}int[] ugly = new int[n];ugly[0] = 1;int index2 = 0, index3 = 0, index5 = 0;int factor2 = 2, factor3 = 3, factor5 = 5;for (int i = 1; i < n; i++) {int min = Math.min(Math.min(factor2, factor3), factor5);ugly[i] = min;if (factor2 == min)factor2 = 2 * ugly[++index2];if (factor3 == min)factor3 = 3 * ugly[++index3];if (factor5 == min)factor5 = 5 * ugly[++index5];}return ugly[n - 1];}

如果采用逐个判断每个整数是不是丑数的解法，直观但不够高效，所以我们就需要换一种思路，我的第一反应就是这其中一定有什么规律，但是尝试着找了一下，没找到...看了看答案才幡然醒悟，前面提到的算法之所以效率低，很大程度上是因为不管一个数是不是丑数，我们都要对它进行计算，接下来我们试着找到一种只计算丑数的方法，而不在非丑数的整数上花费时间，根据丑数的定义，丑数应该是另一个丑数乘以2、3或者5的结果（1除外），因此，我们可以创建一个数组，里面的数字是排好序的丑数，每个丑数都是前面的丑数乘以2、3或者5得到的，也就是上面的算法了..

295.数据流的中位数（剑指Offer面试题41）

参考答案：（219ms）

public class MedianFinder {PriorityQueue<Integer> maxHeap;PriorityQueue<Integer> minHeap;/*** initialize your data structure here.*/public MedianFinder() {maxHeap = new PriorityQueue<>(Collections.reverseOrder());minHeap = new PriorityQueue<>();}public void addNum(int num) {maxHeap.add(num);minHeap.add(maxHeap.poll());if (minHeap.size() - maxHeap.size() > 0) {maxHeap.add(minHeap.poll());}}public double findMedian() {if (maxHeap.size() == minHeap.size()) {return (maxHeap.peek() + minHeap.peek()) / 2.0;} else {return maxHeap.peek();}}}

思路：这道题的实现思路有很多，比如我们可以在插入的时候就将每个元素插入到正确的位置上，这样返回中位数的时候就会是一个O(1)的操作，下面列举一张表来说明不同实现的复杂度具体是多少：
AVL树是一种很高效的数据结构，但是在大多数的语言中都没有现成的实现，所以考虑用最大堆和最小堆，对于一个已经排好序的数据容器，我们可以从中间分开分成两个部分，其中拿P1指向左半部分最大的元素，拿P2指向有半部分最小的元素，如果能够保证数据容器左边的数据都小于右边的数据，那么即使左、右两边内部的数据没有排序，我们仍然可以根据左边最大的数和右边最大的数得到中位数：
如何快速从一个数据容器中找出最大数呢？我们可以使用最大堆来实现这个数据容器，因为堆顶的元素就是最大的元素；同样我们可以使用最小堆来快速找出一个数据容器中最小数。因此按照这个思路我们就可以使用一个最大堆实现左边的数据容器，使用一个最小堆实现右边的数据容器，但是需要注意的是这两个容器的大小差值不能超过1；

347. 前K个高频元素（类似剑指Offer面试题40）

参考答案：（131ms）

public List<Integer> topKFrequent(int[] nums, int k) {TreeMap<Integer, Integer> map = new TreeMap<>();// 保存频率for (int num : nums) {if (map.containsKey(num)) {map.put(num, map.get(num) + 1);} else {map.put(num, 1);}}PriorityQueue<Integer> pq = new PriorityQueue<>(paringInt(map::get));for (int key : map.keySet()) {if (pq.size() < k) {pq.add(key);} else if (map.get(key) > map.get(pq.peek())) {pq.remove();pq.add(key);}}LinkedList<Integer> res = new LinkedList<>();while (!pq.isEmpty()) {res.add(pq.remove());}return res;}

692. 前K个高频单词

参考答案：（72ms）

public List<String> topKFrequent(String[] words, int k) {Map<String, Integer> count = new HashMap();for (String word: words) {count.put(word, count.getOrDefault(word, 0) + 1);}List<String> candidates = new ArrayList(count.keySet());Collections.sort(candidates, (w1, w2) -> count.get(w1).equals(count.get(w2)) ?pareTo(w2) : count.get(w2) - count.get(w1));return candidates.subList(0, k);}

这道题类似于上面的第347题，但是问题出在返回的顺序上，需要自己来定义一个比较器来排序..然后也学到一个写法，就是上面的第一个for循环里，getOrDefault()方法，get√..

参考答案2：（91ms）

public List<String> topKFrequent(String[] words, int k) {Map<String, Integer> count = new HashMap();for (String word: words) {count.put(word, count.getOrDefault(word, 0) + 1);}PriorityQueue<String> heap = new PriorityQueue<String>((w1, w2) -> count.get(w1).equals(count.get(w2)) ?pareTo(w1) : count.get(w1) - count.get(w2) );for (String word: count.keySet()) {heap.offer(word);if (heap.size() > k) heap.poll();}List<String> ans = new ArrayList();while (!heap.isEmpty()) ans.add(heap.poll());Collections.reverse(ans);return ans;}