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空间直角坐标系坐标面分向量@坐标分解式余弦定理数量积的坐标表示公式 向量积向量积的坐标表示公式 向量的外积在物理学中的应用向量外积和刚体旋转线速度问题角速度和向量积空间直角坐标系
在空间取定1点O和3个两两垂直的单位向量 i , j , k \boldsymbol{i,j,k} i,j,k,就确定了3条都以O为原点的两两垂直的数轴;三个数轴依次记为 x , y , z x,y,z x,y,z轴,分别称为横轴,纵轴,竖轴,统称为坐标轴(经常用 u u u表示其中的某一个轴)上述元素构成一个空间直角坐标系,称为 O x y z Oxyz Oxyz坐标系或者 [ O ; i , j , k ] [O;\boldsymbol{i,j,k}] [O;i,j,k]坐标系通常将 x , y {x,y} x,y轴配置在水平面上,z轴作为铅垂线它们的正向符合右手规则的是右手系,当右手的四个手指从正向 x x x轴以 π 2 \frac{\pi}{2} 2π角度转向正向y轴时,大拇指的指向就是 z z z轴其中 D D D是 M M M在 x O y xOy xOy上的投影点A,B分别是 M M M在 x , y x,y x,y轴上的投影点由立体几何的知识(过平面外的一点作垂直于平面的直线,则该直线垂直于平面上的任意直线),此处 x x x轴垂直于平面 Π A D M \Pi_{ADM} ΠADM所确定的平面,且 A M ∈ Π A M D AM\in{\Pi_{AMD}} AM∈ΠAMD,所以 A M ⊥ O A AM\perp{OA} AM⊥OA坐标面
三条坐标轴的任意两条可以构成一个面,这样给出的面称为坐标面,例如,x,y轴确定的平面可以记为 x O y xOy xOy面 类似的有 x O z , y O z xOz,yOz xOz,yOz坐标面 三个坐标面将空间分为8个部分,每个部分称为一个卦限 分为2层,每层4个卦限,第一个卦限有三个坐标轴的正方向指出从第一卦限开始逆时针编号第一层的四个卦限第5卦限位于第一卦限正下方,从第5卦限开始逆时针编号5~8卦限分向量@坐标分解式
任意向量 r \boldsymbol{r} r,有对应点 M M M,使得 O M → = r \overrightarrow{OM}=\boldsymbol{r} OM =r
以 O M OM OM为对角线,三条坐标轴为棱,构建长方体,比如按8个顶点编号为 R H M K − O P N Q RHMK-OPNQ RHMK−OPNQ,前4个字母表示长方体的第一层的4个顶点,后4个字母表示长方体的第二层的4个顶点
长方体的面可以有过点M的垂直于坐标面的平面以及3个坐标面相互截取围成的区域
设 R , P , Q R,P,Q R,P,Q分别位于 x , y , z x,y,z x,y,z轴上
设 O P → = x i \overrightarrow{OP}=x\boldsymbol{i} OP =xi, O Q → = y j \overrightarrow{OQ}=y\boldsymbol{j} OQ =yj, O R → = z k \overrightarrow{OR}=z\boldsymbol{k} OR =zk,则
r = O M → = x i + y j + z k \boldsymbol{r}=\overrightarrow{OM} =x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k} r=OM =xi+yj+zk
上式称为向量 r \boldsymbol{r} r的坐标分解式
x i , y j , z k x\boldsymbol{i},y\boldsymbol{j},z\boldsymbol{k} xi,yj,zk称为向量 r \boldsymbol{r} r的沿着3个坐标轴方向的分向量
因此在坐标系 O x y z Oxyz Oxyz中,点坐标和向量有一 一对应的关系: r = ( x , y , z ) \boldsymbol{r}=(x,y,z) r=(x,y,z)
利用坐标作向量的线性运算(加法,减法,数乘)是方便的
坐标分解式对用了坐标在各个轴上的分量,不同的向量从坐标分解式的角度理解,容易得到 a = a x i + a y j + a z k \boldsymbol{a}=a_x\boldsymbol{i}+a_y\boldsymbol{j}+a_z\boldsymbol{k} a=axi+ayj+azk b = b x i + b y j + b z k \boldsymbol{b}=b_x\boldsymbol{i}+b_y\boldsymbol{j}+b_z\boldsymbol{k} b=bxi+byj+bzk λ a = λ a x i + λ a y j + λ a z k \lambda\boldsymbol{a}=\lambda a_x\boldsymbol{i}+\lambda a_y\boldsymbol{j}+\lambda a_z\boldsymbol{k} λa=λaxi+λayj+λazk
利用相关交换律和结合律:
a + b = ( a x + b x ) i + ( a y + b y ) j + ( a z + b z ) k = ( a x + b x , a y + b y , a z + b z ) a − b = ( a x − b x ) i + ( a y − b y ) j + ( a z − b z ) k = ( a x − b x , a y − b y , a z − b z ) λ a = λ ( a x , a y , a z ) \boldsymbol{a+b}=(a_x+b_x)\boldsymbol{i}+(a_y+b_y)\boldsymbol{j}+(a_z+b_z)\boldsymbol{k}=(a_x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z) \\ \boldsymbol{a-b}=(a_x-b_x)\boldsymbol{i}+(a_y-b_y)\boldsymbol{j}+(a_z-b_z)\boldsymbol{k}=(a_x-b_x,a_y-b_y,a_z-b_z) \\ \lambda\boldsymbol{a}=\lambda(a_x,a_y,a_z) a+b=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k=(ax+bx,ay+by,az+bz)a−b=(ax−bx)i+(ay−by)j+(az−bz)k=(ax−bx,ay−by,az−bz)λa=λ(ax,ay,az)
余弦定理
设在 △ A B C \triangle{ABC} △ABC中, ∠ B C A = θ \angle{BCA}=\theta ∠BCA=θ, ∣ B C ∣ = a |BC|=a ∣BC∣=a, ∣ C A ∣ = b |CA|=b ∣CA∣=b, ∣ A B ∣ = c |AB|=c ∣AB∣=c
余弦定理描述的关系式 c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos θ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta c2=a2+b2−2abcosθ
记 C B → = a \overrightarrow{CB}=\boldsymbol{a} CB =a, C A → = b \overrightarrow{CA}=\boldsymbol{b} CA =b, A B → = c \overrightarrow{AB}=\boldsymbol{c} AB =c,则 c = a − b \boldsymbol{c=a-b} c=a−b
从而:
∣ c ∣ 2 = c ⋅ c = ( a − b ) ⋅ ( a − b ) = a ⋅ a + b ⋅ b − 2 a ⋅ b = ∣ a ∣ 2 + ∣ b ∣ 2 − 2 ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos < a , b > \boldsymbol{ |c|^2=c\cdot{c}=(a-b)\cdot(a-b) =a\cdot{a}+b\cdot{b}-2a\cdot{b} } \\=\boldsymbol{|a|^2+|b|^2}-2\boldsymbol{|a||b|}\cos{\boldsymbol{<a,b>}} ∣c∣2=c⋅c=(a−b)⋅(a−b)=a⋅a+b⋅b−2a⋅b=∣a∣2+∣b∣2−2∣a∣∣b∣cos<a,b>
其中 ∣ a ∣ = a |\boldsymbol{a}|=a ∣a∣=a, ∣ b ∣ = b |\boldsymbol{b}|=b ∣b∣=b, ∣ c ∣ = c |\boldsymbol{c}|=c ∣c∣=c, < a , b > = θ \boldsymbol{<a,b>}=\theta <a,b>=θ即 c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos θ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta c2=a2+b2−2abcosθ
数量积的坐标表示公式
设 a = a x i + a y j + a z k \boldsymbol{a}=a_x\boldsymbol{i}+a_y\boldsymbol{j}+a_z\boldsymbol{k} a=axi+ayj+azk; b = b x i + b y j + b z k \boldsymbol{b}=b_x\boldsymbol{i}+b_y\boldsymbol{j}+b_z\boldsymbol{k} b=bxi+byj+bzk
根据向量的数量积对加法的分配律:
将坐标解析式带入到 a , b \boldsymbol{a,b} a,b,并根据分配律展开
a ⋅ b = ( a x i + a y j + a z k ) ⋅ ( b x i + b y j + b z k ) = a x i ⋅ ( b x i + b y j + b z k ) + a y j ⋅ ( b x i + b y j + b z k ) + a z k ⋅ ( b x i + b y j + b z k ) = a x b x i ⋅ i + 0 + 0 + 0 + a y b y j ⋅ j + 0 + 0 + 0 + a z b z k ⋅ k = a x b x + a y b y + a z b z \begin{aligned} \boldsymbol{a\cdot{b}} =&(a_x\boldsymbol{i}+a_y\boldsymbol{j}+a_z\boldsymbol{k}) \cdot (b_x\boldsymbol{i}+b_y\boldsymbol{j}+b_z\boldsymbol{k}) \\ =&a_{x}\boldsymbol{i}\cdot(b_x\boldsymbol{i}+b_y\boldsymbol{j}+b_z\boldsymbol{k})\\ &+a_{y}\boldsymbol{j}\cdot(b_x\boldsymbol{i}+b_y\boldsymbol{j}+b_z\boldsymbol{k})\\ &+a_{z}\boldsymbol{k}\cdot(b_x\boldsymbol{i}+b_y\boldsymbol{j}+b_z\boldsymbol{k}) \\ =&a_xb_x\boldsymbol{i\cdot{i}}+0+0 \\&+0+a_yb_y\boldsymbol{j\cdot{j}}+0 \\&+0+0+a_zb_z\boldsymbol{k\cdot{k}} \\ =&a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z \end{aligned} a⋅b====(axi+ayj+azk)⋅(bxi+byj+bzk)axi⋅(bxi+byj+bzk)+ayj⋅(bxi+byj+bzk)+azk⋅(bxi+byj+bzk)axbxi⋅i+0+0+0+aybyj⋅j+0+0+0+azbzk⋅kaxbx+ayby+azbz
其中由于 i , j , k \boldsymbol{i,j,k} i,j,k,所以 i ⋅ j = j ⋅ k = i ⋅ k = 0 \boldsymbol{i\cdot{j}=j\cdot{k}=i\cdot{k}}=0 i⋅j=j⋅k=i⋅k=0 i ⋅ i = j ⋅ j = k ⋅ k = 1 \boldsymbol{i\cdot{i}=j\cdot{j}=k\cdot{k}}=1 i⋅i=j⋅j=k⋅k=1
向量积
研究物体转动问题时,除了考虑物体所受的力,还要分析力所产生的力矩
设 O O O为一根杠杆L的支点,有一个力 F \boldsymbol{F} F作用在杠杆上 P P P点处, F \boldsymbol{F} F与 O P → \overrightarrow{OP} OP 的夹角为 θ \theta θ,构成的平面记为 Π \Pi Π
由力学规定,力 F \boldsymbol{F} F对支点 O O O的力矩是向量 M \boldsymbol{M} M, ∣ M ∣ = ∣ O Q ∣ ∣ F ∣ = ∣ O P → ∣ ∣ F ∣ sin θ |\boldsymbol{M}|=|OQ||\boldsymbol{F}|=|\overrightarrow{OP}||\boldsymbol{F}|\sin{\theta} ∣M∣=∣OQ∣∣F∣=∣OP ∣∣F∣sinθ
M ⊥ Π \boldsymbol{M}\perp{\Pi} M⊥Π, M \boldsymbol{M} M的方向按右手规则从 O P → \overrightarrow{OP} OP 以不超过 π \pi π的角度旋转向 F \boldsymbol{F} F来确定
当右手的4个手指从 O P → \overrightarrow{OP} OP 以不超过 π \pi π的角度转向 F \boldsymbol{F} F握拳时,大拇指的方向就是 M \boldsymbol{M} M的指向
从力矩抽象出两个向量的向量积的概念
向量 a , b \boldsymbol{a,b} a,b的向量积表示为 c = a × b \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\times{\boldsymbol{b}} c=a×b,设 θ \theta θ为 a , b \boldsymbol{a,b} a,b的夹角, Π \Pi Π为 a , b \boldsymbol{a,b} a,b所在(决定)的平面
模: ∣ c ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin θ |c|=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin\theta ∣c∣=∣a∣∣b∣sinθ;
方向:按右手规则,右手从 a \boldsymbol{a} a向着不超过 π \pi π的一侧夹角转向 b \boldsymbol{b} b时拇指的方向来确定
向量积的坐标表示公式
利用结合律和分配律,带入坐标解析式:
a × b = ( a x i + a y j + a z k ) × ( b x i + b y j + b z k ) = a x i × ( b x i + b y j + b z k ) + a y j × ( b x i + b y j + b z k ) + a z k × ( b x i + b y j + b z k ) = a x b x ( i × i ) + a x b y ( i × j ) + a x b z ( i × k ) + a y b x ( j × i ) + a y b y ( j × j ) + a y b z ( j × k ) + a z b x ( k × i ) + a z b y ( k × j ) + a z b z ( k × k ) = ( a y b z − a z b y ) i + ( a z b x − a x b z ) j + ( a x b y − a y b x ) k \begin{aligned} \boldsymbol{a\times{b}} =&(a_x\boldsymbol{i}+a_y\boldsymbol{j}+a_z\boldsymbol{k}) \times (b_x\boldsymbol{i}+b_y\boldsymbol{j}+b_z\boldsymbol{k}) \\=&a_{x}\boldsymbol{i}\times(b_x\boldsymbol{i} +b_y\boldsymbol{j}+b_z\boldsymbol{k})\\ &+a_{y}\boldsymbol{j}\times(b_x\boldsymbol{i} +b_y\boldsymbol{j}+b_z\boldsymbol{k})\\ &+a_{z}\boldsymbol{k}\times(b_x\boldsymbol{i} +b_y\boldsymbol{j}+b_z\boldsymbol{k}) \\ =&a_xb_x\boldsymbol{(i\times{i})} +a_xb_y\boldsymbol{(i\times{j})} +a_xb_z\boldsymbol{(i\times{k})} \\ &+a_yb_x\boldsymbol{(j\times{i})} +a_yb_y\boldsymbol{(j\times{j})} +a_yb_z\boldsymbol{(j\times{k})} \\ &+a_zb_x\boldsymbol{(k\times{i})} +a_zb_y\boldsymbol{(k\times{j})} +a_zb_z\boldsymbol{(k\times{k})} \\ =&(a_yb_z-a_zb_y)\boldsymbol{i} +(a_zb_x-a_xb_z)\boldsymbol{j} +(a_xb_y-a_yb_x)\boldsymbol{k} \end{aligned} a×b====(axi+ayj+azk)×(bxi+byj+bzk)axi×(bxi+byj+bzk)+ayj×(bxi+byj+bzk)+azk×(bxi+byj+bzk)axbx(i×i)+axby(i×j)+axbz(i×k)+aybx(j×i)+ayby(j×j)+aybz(j×k)+azbx(k×i)+azby(k×j)+azbz(k×k)(aybz−azby)i+(azbx−axbz)j+(axby−aybx)k
其中:
i × i = j × j = k × k = 0 \boldsymbol{i\times{i}=j\times{j}=k\times{k}}=0 i×i=j×j=k×k=0 i × j = k \boldsymbol{i\times{j}=k} i×j=k, j × k = i \boldsymbol{j\times{k}=i} j×k=i, i × k = j \boldsymbol{i\times{k}=j} i×k=j j × i = − k \boldsymbol{j\times{i}=-k} j×i=−k, k × j = − i \boldsymbol{k\times{j}=-i} k×j=−i, k × i = − j \boldsymbol{k\times{i}=-j} k×i=−j
向量的外积在物理学中的应用
向量外积和刚体旋转线速度问题
设刚体以等角速度 ω \boldsymbol\omega ω绕 l l l轴旋转,计算刚体上一点 M M M的线速度 v \boldsymbol{v} v的大小设点 M M M到 l l l的距离为 a a a,再在 l l l上任取一点 O O O作向量 m = O M → \boldsymbol{m}=\overrightarrow{OM} m=OM ,并以 θ \theta θ表示 ω \boldsymbol{\omega} ω与 m \boldsymbol{m} m的夹角,则 a = ∣ m ∣ sin θ a=|\boldsymbol{m}|\sin{\theta} a=∣m∣sinθ,刚体旋转半径为 a a a根据物理学中线速度和角速度的关系: v = ω a v=\omega{a} v=ωa可知: ∣ v ∣ = ∣ w ∣ ∣ m ∣ sin θ |\boldsymbol{v}|=|\boldsymbol{w}||\boldsymbol{m}|\sin\theta ∣v∣=∣w∣∣m∣sinθ 其中 v \boldsymbol{v} v的方向垂直于同时过点 M M M与轴 l l l的平面,即向量 ω , m \boldsymbol{\omega,m} ω,m所在的平面(描述空间中的直线的方向需要足够精准)因此, v = ω × m \boldsymbol{v}=\boldsymbol{\omega\times{m}} v=ω×m角速度和向量积
角速度（Angular velocity）是在物理学中定义为角位移的变化率，描述物体转动时，在单位时间内转过多少角度以及转动方向的向量,（更准确地说，是赝向量），通常用希腊字母( Ω \Omega Ω)或( ω \omega ω)来表示。
在国际单位制中，单位是弧度每秒（rad/s）。在日常生活，通常量度单位时间内的转动周数，即是每分钟转速（rpm），电脑机械硬盘和汽车引擎转数就是以rpm来量度，物理学则以rev/min表示每分钟转动周数。
角速度的方向垂直于转动平面，可通过右手定则来确定，物体以逆时针方向转动其角速度为正值，物体以顺时针方向转动其角速度为负值。
角速度量值的大小称作角速率，通常也是用 ω \omega ω来表示。
In physics,angularvelocity(ω or Ω), also known asangular frequency vector,is apseudovectorrepresentation of how fast the angular position or orientation of an object changes with time (i.e. how quickly an object rotates or revolves relative to a point or axis).
Themagnitudeof the pseudovector represents" the angularspeed", therateat which the object rotates or revolves, and itsdirectionisnormal(垂直)tothe instantaneous plane(瞬时平面)of rotation or “angular displacement(角位移)”.
Theorientationof angular velocity is conventionally specified by the right-hand rule.
“orientation”指的是角速度的方向，而“direction”指的是伪矢量的方向，两者在描述物体旋转和伪矢量时所关注的角度略有不同;在描述伪矢量的方向时，我们考虑的是伪矢量与旋转或角位移的瞬时平面之间的垂直关系。它的方向与瞬时平面的法向量是一致的，表示了伪矢量的方向是垂直于旋转或角位移的平面的。
There are two types of angular velocity.
Orbital angular velocityrefers to how fast a point object revolves about a fixed origin, i.e. the time rate of change of its angular position relative to the origin.
Spin angular velocityrefers to how fast arigid body(刚体) rotateswith respect toits center of rotation and is independent of the choice oforigin, in contrast to orbital angular velocity.自旋角速度是指刚体相对于其自旋中心的旋转速度，与选择的坐标原点无关，与轨道角速度相对立。
In general, angular velocity has dimension of angle per unit time (angle replacing distance from linear velocity with time in common).
The SI unit of angular velocity is radians per second, with the radian(弧度) being a dimensionless quantity, thus the SI units of angular velocity may be listed as s − 1 s^{−1} s−1. 通常情况下，角速度的量纲为角度每单位时间（用时间取代线性速度中的距离）。角速度的国际单位制单位为弧度每秒，弧度是一个无量纲的量，因此角速度的国际单位制单位可以列为 s − 1 s^{−1} s−1。
角速度通常用符号 omega (ω，有时为 Ω)表示。按照惯例，正的角速度表示逆时针旋转，而负的角速度表示顺时针旋转。
Angular velocity is usually represented by the symbol omega (ω, sometimes Ω). By convention, positive angular velocity indicates counter-clockwise rotation, while negative is clockwise.
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