package problems;import java.util.ArrayList;/*** 使用位运算实现 加减乘除 取模* 原理：加法原则：对应位置进行加和，若果有进位，则加到到高位中。*那么使用位运算代替加法，要解决两个问题：*1、如何计算进位* 二进制中出现进位的形式只有1+1，可以使用&运算来表示出哪一位需要进位。a&b的二进制结果对应哪一位相加值后需要进位。* 再将进位加到更高为的对位和中，直至所有进位结果等于0，没有进位，此时的和就是a+b的结果。*2、如何计算对位的加和* 在问题1，已经解决了哪一位需要进位。如果出现进位，那么也就表示该位上加和后的结果是0，若不出现进位，则是1或者0。* 可以使用^运算来计算对位的加和，即^运算就是无进位的相加。相同就是0，不同就是1，即0+0=0，1+1=0,0+1=1,1+0=0。符合加法规则。* 加法：a + b* 减法：可以将减法转换成加法计算。a - b = a + (-b)* 乘法：可以将乘法转换成一个数的累加。a * b = b个a相加* 除法：可以将除法转换成多次减法，再将减法转换成加法。a / b = a减去多个b，知道差小于b*/public class Operation {/*** 加法* @param a* @param b* @return*/public static int add(int a, int b) {// 表示两数相加后的和，初始状态是aint sum = a;// 表示进位，初始状态是b，也就是把b当做加和后的进位int carry = b;// 循环条件：只要进位不为0，则继续加/*** 步骤：* 1、计算两数二进制对位加和* 2、计算两数二进制对位是否需要进位* 3、将进位信息左移一位，计算到下一次加和中* 4、替换操作数信息，将上一次加和信息赋值给加数a，将上一次进位信息赋值给加数b。将a+b转换成 ab和(不算进位) + ab进位* 5、当进位信息不等于0是，继续计算加和，直至进位信息等于0，加和结束，sum返回结果*/while (carry != 0) {// 计算两数对应二进制位加和sum = a ^ b;// 记录每一位的进位信息，<<将每一位的进位信息提高一位，加入到下次对位计算中carry = (a & b) << 1;// a 重新赋值加和结果a = sum;// 记录进位b = carry;}return sum;}/*** 减法* @param a* @param b* @return*/public static int sub(int a, int b) {// 被减数取相反数，使用位运算取反~b+1即b的相反数b = add(~b, 1);// 计算a + (-b)return add(a, b);}/*** 乘法* @param a* @param b* @return*/public static int mul(int a, int b) {/*** 方法一：将乘法转换成累加，a累加b-1次，即a*b的结果*/// int sum = a;// do {// // 累加a// sum = add(sum, a);// } while (--b != 1);// return sum;// 优化/*** 方法二：使用类似10进制乘法方法，b的每一位乘以a的每一位，加和即a*b的结果。* 当b的二进制位是1时，结果加上当前a的值。当b的二进制位是0时，可以忽略，不用进行加和，因为a与0想成即是0。* b二进制第0位分别于a的二进制每位相乘，b的二进制是1，则结果加上a，* b二进制第1位分别于a的二进制每位想成，b的二进制是1，则结果加上(a<<1)，类似于b的十位数成以a时，要成10一样，需要向前进一位，再相加。* 依次想成，知道b=0。** 比方法1效率大大提高*/int res = 0;while (b != 0) {if ((b & 1) != 0) {res = add(res, a);}a <<= 1;b >>>= 1;}return res;}/*** 除法* @param a* @param b* @return*/public static int div(int a, int b) {// 循环减去a，知道差小于b/*** 这种方法只支持：a，b都是正数*/// if (a < b) {// return 0;// }// int i = 0;// do {// a = sub(a, b);// i++;// } while (a >= b);// return i;/*** 优化* a / b = c可以理解为 b * c = a。* 乘法中b * c 是c的二进制中，每一个为1的位上，与b的二进制每一位相乘的累加和。* 只有c的二进制位上是1，才会去乘以b。* 所以问题变成如何确定c中哪一位是1。** 将b左移，到刚好小于a的位置，下一次移动b就大于a，然后移动的位置的二进制位是1，即结果的对应位置也是1。* 将b赋值b-左移之后的b，在重新计算下一个位置，直至b=0;** 具体实现使用a进行右移，来计算结果1位置。* 原因：左移操作可能触发符号位的计算，使b左移变成负数，永远小于a。让a进行右移，去匹配b。不用担心符号位，从正数变成负数了**/if (b == 0) {System.out.println("/ by zero");throw new ArithmeticException("/ by zero");}if (a == 0 || a < b) {return 0;}if (a == Integer.MIN_VALUE && b == Integer.MIN_VALUE) {// ab都是系统最小值，结果为1return 1;} else if (b == Integer.MIN_VALUE) {// a不是系统最小值，b是系统最小值，不论a是多少，那么结果都是0。// 去掉符号为，b比系统最大值还大1，无论a是多少，都不可能大于b，所以结果是0。return 0;} else if (a == Integer.MIN_VALUE) {if (b == negNum(1)) {// 当a是系统最小值，如果除以-1，那么结果就是a的相反数，但是系统没有这个数。所以规定结果是系统最大值。return Integer.MAX_VALUE;} else {/*** 当a是系统最小值，b不是系统最小值，且也不是-1。* 最小值是负数，因为系统没有最大值与之对应，即没有其相反数与之对应。* 先对a进行加一，让其相反数可以在系统中找到，即系统最大值。此时就可以使用自定义的除法进行计算。* 因为对a进行了减一操作，所以结果会小于等于正确结果。要计算相差多少。* 使用a减去结果与b的乘积，得到差值，即剩余没有用来做被除数的部分* 再用剩余部分除以b得到，再加上原有结果，即a除以b的最终结果*/int result = divNum(add(a, 1), b);return add(result, divNum(sub(a, mul(result, b)), b));}} else {// 当ab都不是系统最小值，通过除法方法计算其结果return divNum(a, b);}}private static int divNum(int a, int b) {// 将a，b都转换成正数进行计算int x = a < 0 ? negNum(a) : a;int y = b < 0 ? negNum(b) : b;// 记录结果int result = 0;/*** 循环尝试* 最大差距位数：去掉符号位剩余31位表示数值* a的二进制0100……* b的二进制0……1* a的最高位是第30位，b只有第0位是1,其余位是0。此时ab距离最大，达到30。* 所以每次从30开始移动*/for (int i = 30; i >= 0; i = sub(i, 1)) {// 当移动至刚好大于y时，进行计算，记录对应位置为1，即结果对应位置为1if ((x >> i) >= y) {result |= (1 << i);x = (sub(x, y << i));}}// 将符号加到结果，相同符号位则返回正，不同符号位则返回负return a < 0 ^ b < 0 ? negNum(result) : result;}/*** 通过位运算取num的相反数* num 的相反数 = ~num + 1* @param num* @return*/public static int negNum(int num) {return add(~num, 1);}/*** 取模（取余）* 适用范围 a % b,b=2^n。b要是2的n次幂。才可以使用。* 原理：a % b时，即计算a小于n*b的部分还有多少。例如45 % 32，n即为1,计算n小于1 * 32 还有多少，还有13。* 如何确定还剩余多少，可以将两个数的二进制列出* 45：101101* 32：100000* 在二进制中，b的整数倍在a中，就是第5位及更高位所表示的数。而其余位数则表示小于b的值，也就是a对b余数。那么问题就变成如何返回b的余数的二进制。* b - 1 的二进制表示为 11111，使用a & (b - 1) 就可以保留下，小于b的二进制位，而大于b的部分则被&0运算成0。返回的结果就是a % b的结果* @param a* @param b* @return*/public static int mod(int a, int b) {return a & (mul(b, 1));}public static void main(String[] args) {/*** 验证加法实现是否正确* 循环测试* 随机生成两个数进行加和*/int testTimes = 100000;int a = 0;int b = 0;int max = 10;ArrayList<ArrayList<Integer>> arrayLists = new ArrayList<>();ArrayList<Integer> baseResult = new ArrayList<>(100000);ArrayList<Integer> bitResult = new ArrayList<>(100000);ArrayList<Integer> temp = null;System.out.println("测试开始");System.out.println("生成测试数据");for (int i = 0; i < testTimes; i++) {temp = new ArrayList<>();a = (int) (Math.random() * (max + 1));b = (int) (Math.random() * (max + 1));temp.add(a);temp.add(b);arrayLists.add(temp);}System.out.println("测试数据生成完成");System.out.println("位运算加法测试开始");long l = System.currentTimeMillis();for (ArrayList<Integer> t : arrayLists) {bitResult.add(add(t.get(0), t.get(1)));}long l1 = System.currentTimeMillis();System.out.println("位运算加法结束，耗时\t" + (l1 - l));System.out.println("基础加法测试开始");l = System.currentTimeMillis();for (ArrayList<Integer> t : arrayLists) {baseResult.add(t.get(0) + t.get(1));}l1 = System.currentTimeMillis();System.out.println("基础加法结束，耗时\t" + (l1 - l));for (int i = 0; i < testTimes; i++) {if (baseResult.get(i).intValue() != bitResult.get(i).intValue()) {System.out.println("测试失败");System.out.println("操作数\t" + arrayLists.get(i).toString());System.out.println("位运算加法结果\t" + bitResult.get(i).toString());System.out.println("基础加法结果\t" + baseResult.get(i).toString());}}System.out.println("测试结束");/*** 输出结果：测试成功，实现正确* 测试开始* 生成测试数据* 测试数据生成完成* 位运算加法测试开始* 位运算加法结束，耗时12* 基础加法测试开始* 基础加法结束，耗时9* 测试结束** Process finished with exit code 0*//*** 问题：为什么位运算不如加减乘除快？* 因为在Java中加减乘除是虚拟机底层实现，包含汇编的语言进行底层的实现。而使用位运算手写实现的加减乘除逻辑，要经过翻译之后到达虚拟机执行，在翻译过程中比较耗时，* 而不如直接使用虚拟机实现的加减乘除效率高。并不代表位运算效率不如加减乘除。实际上单独使用位运算对数值进行操作效率要高与加减乘除。*/System.out.println();System.out.println("测试减法开始");for (int i = 0; i < testTimes; i++) {a = (int) (Math.random() * (max + 1));b = (int) (Math.random() * (max + 1));if (sub(a, b) != (a - b)) {System.out.println("操作数a:\t" + a + "\t操作数b:\t" + b);System.out.println("位运算减法结果:\t" + sub(a, b));System.out.println("基础减法结果:\t" + (a - b));System.out.println();}}System.out.println("测试减法结束");/*** 输出结果：测试成功，实现正确** 测试减法开始* 测试减法结束** Process finished with exit code 0*/int bitResultValue = 0;int baseResultValue = 0;System.out.println();System.out.println("测试乘法开始");for (int i = 0; i < testTimes; i++) {a = (int) (Math.random() * (max + 1));b = (int) (Math.random() * (max + 1));bitResultValue = mul(a, b);baseResultValue = (a * b);if (bitResultValue != baseResultValue) {System.out.println("操作数a:\t" + a + "\t操作数b:\t" + b);System.out.println("位运算乘法结果:\t" + bitResultValue);System.out.println("基础乘法结果:\t" + baseResultValue);System.out.println();}}System.out.println("测试乘法结束");/*** 输出结果：测试成功，实现正确** 测试乘法开始* 测试乘法结束** Process finished with exit code 0*/System.out.println();System.out.println("测试除法开始");for (int i = 0; i < testTimes; i++) {a = (int) (Math.random() * (max + 1));b = (int) (Math.random() * (max + 1));if (b == 0) {continue;}bitResultValue = div(a, b);baseResultValue = (a / b);if (bitResultValue != baseResultValue) {System.out.println("操作数a:\t" + a + "\t操作数b:\t" + b);System.out.println("位运算除法结果:\t" + bitResultValue);System.out.println("基础除法结果:\t" + baseResultValue);System.out.println();}}System.out.println("测试除法结束");/*** 输出结果：测试成功，实现正确** 测试除法开始* 测试除法结束** Process finished with exit code 0*/}}
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