问题描述
有一个x(k>0)的棋盘,恰好有一个方格与其他方格不同,称之为特殊方格。现在要用如下图所示的L形骨牌覆盖除了特殊方格以外的其他全部方格,骨牌可以任意旋转,并且任何两个骨牌不能重复。请给出一种覆盖方式。
下面给出两个例子:(假设特殊方格是白色的)
k=2k=3问题求解
因为方格数=x=,L形骨牌个数=(-1—)/ 3 。以上面的第2个例子举例说明:特殊方格在第8行,第3列,因此特殊方格的右下角(即绿色的L形骨牌)仅一种表示形式——(大家可以尝试一下,其他方法左边两列能否正确处理)。绿色放置之后对于左下角的4x4的正方形来说,特殊方格位于它的第四象限,所以橙色的L形骨牌仅一种表现形式。对于其他的三个象限来说可以将橙色作为它们的特殊方格,以此类推,所有的排列方式即可确定。
因此将原问题分为四个象限求解,且若象限的大小超过4个小方格,即可继续划分(可进行递归调用)。将原棋盘大小设为 size=x,每次划分后的棋盘大小设为 s=size/2; 特殊方格的坐标记为(dr,dc) ;象限的起点(即左上角)记为 (tr,tc) !!!牢记这一点!!!接着我们将其特殊格子所在的位置分为四种情况:
当其在第一象限(即右上象限):将右上象限填满之后,以左下角作为特殊方格进行处理
if(dr<tr+s && dc>=tc+s)Solve(tr,tc+s,dr,dc,s);else{board[tr+s-1][tc+s]=t;Solve(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);}
当其在第二象限(即左上象限):将左上象限填满之后,以右下角作为特殊方格进行处理
if(dr<tr+s && dc<tc+s)Solve(tr,tc,dr,dc,s);else{board[tr+s-1][tc+s-1]=t;Solve(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s);}
当其在第三象限(即左下象限):将左下象限填满之后,以右上角作为特殊方格进行处理
if(dr>=tr+s && dc<tc+s)Solve(tr+s,tc,dr,dc,s);else{board[tr+s][tc+s-1]=t;Solve(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s);}
当其在第四象限(即右下象限):将右下象限填满之后,以左上角作为特殊方格进行处理
if(dr>=tr+s && dc>=tc+s)Solve(tr+s,tc+s,dr,dc,s);else{board[tr+s][tc+s]=t;Solve(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);}
代码
#include <iostream>#include <cmath>#include <iomanip>//setw()所在的头文件#define MAX 1025using namespace std;int k;int x,y;//输入的特殊方格的位置int tile=1;int board[MAX][MAX]; //记录L形骨牌的编号void Solve(int tr,int tc,int dr,int dc,int size){if(size==1) return;int t = tile;int s = size/2;tile++;//考虑左上象限if(dr<tr+s && dc<tc+s)Solve(tr,tc,dr,dc,s);else{board[tr+s-1][tc+s-1]=t;Solve(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s);}//考虑右上象限if(dr<tr+s && dc>=tc+s)Solve(tr,tc+s,dr,dc,s);else{board[tr+s-1][tc+s]=t;Solve(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);}//考虑左下象限if(dr>=tr+s && dc<tc+s)Solve(tr+s,tc,dr,dc,s);else{board[tr+s][tc+s-1]=t;Solve(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s);}//考虑右下象限if(dr>=tr+s && dc>=tc+s)Solve(tr+s,tc+s,dr,dc,s);else{board[tr+s][tc+s]=t;Solve(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);}}int main(){cout << "Input k(k<=10): ";cin>>k;cout<<"Input x,y: ";cin>>x>>y;int size = pow(2,k);Solve(0,0,x,y,size);for(int i=0; i<size; i++){for(int j=0; j<size; j++)cout<<setw(4)<<setfill(' ')<<board[i][j];cout<<endl;}return 0;}
参考资料:《算法设计与分析》第2版
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