亥姆霍兹线圈仿真剖析
题目：为了获得一定区域上的匀强磁场，可采用多组Helmholtz线圈结构。一种两对线圈的结构如图1所示。线圈半径a1，a2，线圈间距h1，h2，以及线圈中通过电流i1，i2可变化量，如图1(a)所示。为了定量衡量关注区域的磁场均压程度，过轴线做截面ABo1o2，取CD=0.8×AB和Eo3 = 0.8×Ao3，在CD和Eo3线段上每边均匀取20采样点，从而形成如图1(b)所示的采样节点，定义z方向B的不均压系数为：其中，为所有采样点的z方向磁感应强度平均值；为第n个采样点的z方向磁感应强度值。N为采样点总数。定义参数：，。问题：如果规定，问、、如何取值可以使得最小，即关注区域磁场“最均匀”。(a)线圈结构示意图(b)磁场采样节点示意图图1.两对线圈产生匀强磁场示意图仿真要求：1)写出给定起点、终点、场点坐标，编制空间中一载流直线段在任意观察点的磁感应强度计算程序。2)写出单个圆环线圈空间任意点磁感应强度的计算程序，并进行验证。3)复习Matlab中优化工具箱的使用。二、仿真与分析：(一)、一载流直线段在任意观察点的磁感应强度1、理论分析：如图，在直角坐标系内，设坐标原点为AB中点，AB在z轴上，起点A(0,0,-L/2)，终点B(0,0,L/2)。根据书中例3-1的结论可知，对于通过电流I的直导线AB，任意观察点P(x,y,z)到AB的距离为R，作观察点P到AB的垂线交于点H，则P点处产生的磁感应强度为又有故2、仿真分析：为了提高计算效率，这里编程用matlab计算时需用离散的方式来计算磁感应强度：先计算一小段直导线dl在观测点处产生的磁场强度d，再用叠加的方法，求出整段载流直线段在观测点处的磁场。如：要算一小段载流导线在P处产生的磁场时，根据毕奥-萨伐尔定律，这里，由于AB是一小段载流导线，可做一个近似运算：由此，可得到整一段载流导线在观测点P处产生的磁场为：根据以上分析，得到计算一载流直线段的matlab程序如附表。现验证这种算法得到的结果与理论分析得到之间的误差：以图1-1为例，假设HA=7，HB=3，HP=5，假设电流I=1A。则：(1)由理论推导得到的公式计算：而由matlab用叠加的方法来计算时，将AB分成每段长度为0.001的小段来计算和叠加，算得的结果为：B=2.6564577。两者相对误差低达级别，可见这种算法与理论分析得到的解析解几乎相同，所以算法合理。还可以做出这种方法下在一平面上电磁场的分布情况的图像，如下图1-3：图1-3由图可看出，B的方向与电流方向符合右手螺旋定则，箭头的长度代表磁感应强度的大小，可以看到，越靠近载流线处B越大。结果合理。(二)单个圆环线圈空间任意点磁感应强度：1、理论推导：对于单圆环线圈所产生的磁场情况，由于此次仿真研究的问题是在平行于圆环平面上的磁场不均匀程度，即如下图2-1，对磁感应强度z轴分量BZ进行不均压度分析，则只需关注在xoy平面上点的BZ，推导过程如下：图2-1建立直角坐标系如上图，以圆环圆心为坐标原点，圆环在XOY平面上，则根据对称性我们可以得到，取观察点P(a,0,z)有以下关系：得到：其中，2、仿真与分析：(2-1)小段电流元叠加法：根据(一)中得到的结果，可用分小段叠加的方法来求得一段载流导线在空间产生的电磁场情况，此处，所谓的小段电流元叠加法，就是采取这种方法，根据以直代曲的方法，以等边多边形来代替圆，这样通过多边形的各边产生的电磁场的叠加，即可得到圆形载流线圈在空间产生电磁场的情况。具体实现程序见附表。(2-2)梯形积分法求解：理论分析已经得到了圆形载流线圈在空间分布的计算公式，可在matlab中用梯形积分的方法对该情况下的磁场的分布。具体编程见附表。【小结】以上所述两种方法都可得到单个圆形载流线圈在空间的分布情况。以下探讨这两种方法的精度和运算速度，以确定后面进行多个线圈的磁场求解时求解方法的选择。在线圈轴线上，线圈轴线上的磁场理论计算较为简便，故对轴线上的磁场情况进行分析：假设线圈半径R=2，线圈电流I=1A，用理论解析法和以上两种数值方法计算线圈轴线上各点磁场的结果进行归纳，如下表所示(数值方法1：即小段电流元叠加法，此处的计算将圆分为正100边形进行计算；数值方法2：用梯形积分法进行求解)：Z12345理论计算结果(10-7)2.247941.110720.536200.280990.16093数值方法1计算结果(10-7)2.247941.110720.536200.280990.16093数值方法2计算结果(10-7)2.246461.109990.535840.280810.16083可见，用数值方法2，即用梯形函数积分法进行求解时，在小数点后5为都与理论计算相同，精度非常高；而用数值方法1计算时，由于采用100等边形来近似圆，计算结果与理
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