数列的极限 数列极限的定义收敛数列的性质 函数的极限 函数极限的定义函数极限的性质 无穷小与无穷大 无穷小无穷大 极限运算法则极限存在法则 两个重要极限无穷小的比较

数列的极限

数列极限的定义

设 {xn} { x n } 为一数列，如果存在常数 a a ，对于任意给定的正数&#x03F5;" role="presentation">ϵϵ(不论它多么小)，总存在正整数 N N ，使得当n&gt;N" role="presentation">n>Nn>N时，不等式 |xn−a|<ϵ | x n − a | < ϵ 都成立，那么久称常数 a a 是数列{xn}" role="presentation">{xn}{xn}的极限，或者称数列 {xn} { x n } 收敛于 a a ，记为limn&#x2192;&#x221E;xn=a" role="presentation">limn→∞xn=alimn→∞xn=a，或 xn→a（n→∞） x n → a （ n → ∞ ） 如果不存在这样的常数a，就说数列 {xn} { x n } 没有极限，或者说数列 {xn} { x n } 是发散的，习惯上也说 limn→∞xn lim n → ∞ x n 不存在

收敛数列的性质

极限的唯一性：

如果数列 {xn} { x n } 收敛，那么它的极限唯一。如数列 xn=(−1)n+1(n=1,2,...,) x n = ( − 1 ) n + 1 ( n = 1 , 2 , . . . , ) 是发散的如果存在正数 M M ，使得数列{xn}" role="presentation">{xn}{xn}中一切 {xn} { x n } 都满足不等式 |xn|≤M | x n | ≤ M ，则称数列 {xn} { x n } 是有界的。如果不存在这样的 M M ，则数列{xn}" role="presentation">{xn}{xn}无界收敛数列的有界性：

如果数列 {xn} { x n } 收敛，那么数列 {xn} { x n } 一定有界如果数列无界，那么数列一定发散；但若数列有界，却不一定收敛，如数列 1,−1,1,...,(−1)n+1,... 1 , − 1 , 1 , . . . , ( − 1 ) n + 1 , . . .收敛数列的保号性：

如果 limn→∞xn=a lim n → ∞ x n = a ，且 a>0(或a<0) a > 0 ( 或 a < 0 ) ，那么存在正整数 N>0 N > 0 ，当 n>N n > N 时，都有 xn>0(或xn<0) x n > 0 ( 或 x n < 0 ) 如果数列 {xn} { x n } 从某项起有 xn≥0（或xn≤0） x n ≥ 0 （ 或 x n ≤ 0 ） ，且 limn→∞xn=a lim n → ∞ x n = a ，那么 a≥0 a ≥ 0 (或 a≤0 a ≤ 0 )收敛数列与其子数列间的关系：

如果数列 {xn} { x n } 收敛于 a a ，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a" role="presentation">aa如果数列 {xn} { x n } 有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列 {xn} { x n } 是发散的

函数的极限

函数极限的定义

函数极限的定义：

在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限：

如果在 x→x0 x → x 0 的过程中，对应的函数值 f(x) f ( x ) 无限接近于确定的数值 A A ，那么就说A" role="presentation">AA是函数 f(x) f ( x ) 当 x→x0 x → x 0 时的极限（前提是函数 f(x) f ( x ) 在点 x0 x 0 的某个去心邻域内有定义）邻域半径 δ δ 体现了 x x 接近x0" role="presentation">x0x0的程度设函数 f(x) f ( x ) 在点 x0 x 0 的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数 ϵ ϵ （不论它多么小），总存在正数 δ δ ，使得当 x x 满足不等式0&lt;|x&#x2212;x0|&lt;&#x03B4;" role="presentation">0<|x−x0|<δ0<|x−x0|<δ时，对应的函数值 f(x) f ( x ) 都满足不等式 |f(x)−A|<ϵ | f ( x ) − A | < ϵ ，那么常数 A A 就叫做函数f(x)" role="presentation">f(x)f(x)当 x→x0 x → x 0 时的极限，记作 limx→x0f(x)=A lim x → x 0 f ( x ) = A 或 f(x)→A f ( x ) → A （当 x→x0 x → x 0 ）函数 f(x) f ( x ) 当 x→x0 x → x 0 时极限存在的充分必要条件时左极限及又极限各自存在并且相等，即 f(x−0)=f(x+0) f ( x 0 − ) = f ( x 0 + )自变量趋于无穷大时函数的极限：

设函数 f(x) f ( x ) 当 |x| | x | 大于某一正数时有定义，如果存在常数 A A ，对于任意给定的正数&#x03F5;" role="presentation">ϵϵ（不论它多么小），总存在着正数 X X ，使得当x" role="presentation">xx满足不等式 |x|>X | x | > X 时，对应的函数值 f(x) f ( x ) 都满足不等式 |f(x)−A|<ϵ | f ( x ) − A | < ϵ ，那么常数 A A 就叫做函数f(x)" role="presentation">f(x)f(x)当 x→∞ x → ∞ 时的极限，记作 limx→∞f(x)=A lim x → ∞ f ( x ) = A 或 f(x)→A(当x→∞) f ( x ) → A ( 当 x → ∞ )

函数极限的性质

函数极限的唯一性：如果 limx→x0f(x) lim x → x 0 f ( x ) 存在，那么这极限唯一函数极限的局部有界性：如果 limx→x0f(x)=A lim x → x 0 f ( x ) = A ，那么存在常数 M>0 M > 0 和 δ>0 δ > 0 ，使得当 0<|x−x0|<δ 0 < | x − x 0 | < δ 时，有 |f(x)|≤M | f ( x ) | ≤ M函数极限的局部保号性：如果 limx→x0f(x)=A lim x → x 0 f ( x ) = A ，且 A>0（或A<0） A > 0 （ 或 A < 0 ） ，那么存在常数 δ>0 δ > 0 ，使得当 0<|x−x0|<δ 0 < | x − x 0 | < δ 时，有 f(x)>0 f ( x ) > 0 （或 f(x)<0 f ( x ) < 0 ）如果 limx→x0f(x)=A(A≠0) lim x → x 0 f ( x ) = A ( A ≠ 0 ) ，那么就存在着 x0 x 0 的某一去心邻域 U˚(x0) U ˚ ( x 0 ) ，当 x∈U˚(x0) x ∈ U ˚ ( x 0 ) 时，就有 |f(x)|>|A|2 | f ( x ) | > | A | 2函数极限与数列极限的关系：如果极限 limx→x0f(x) lim x → x 0 f ( x ) 存在， {xn} { x n } 为函数 f(x) f ( x ) 的定义域内任一收敛于 x0 x 0 的数列，且满足： xn≠x0(n∈N+) x n ≠ x 0 ( n ∈ N + ) ，那么相应的函数值数列 {f(xn)} { f ( x n ) } 必收敛，且 limn→∞f(x) lim n → ∞ f ( x )

无穷小与无穷大

无穷小

如果函数 f(x) f ( x ) 当 x→x0 x → x 0 （或 x→∞ x → ∞ ）时的极限为零，那么称函数 f(x) f ( x ) 为当 x→x0 x → x 0 （或 x→∞ x → ∞ ）时的无穷小在自变量的统一变化过程 x→x0 x → x 0 （或 x→∞ x → ∞ ）中，函数 f(x) f ( x ) 具有极限 A A 的充分必要条件时f(x)=A+a" role="presentation">f(x)=A+af(x)=A+a，其中 a a 是无穷小

无穷大

设函数f(x)" role="presentation">f(x)f(x)在 x0 x 0 的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数 M M （不论它多么大），总存在正数&#x03B4;" role="presentation">δδ（或正数 X X ），只要x" role="presentation">xx适合不等式 0<|x−x0|<δ 0 < | x − x 0 | < δ （或 |x|>M | x | > M ），对应的函数值 f(x) f ( x ) 总满足不等式 |f(x)|>M | f ( x ) | > M ，则称函数 f(x) f ( x ) 为当 x→x0 x → x 0 （或 x→∞ x → ∞ ）时的无穷大在自变量的同一变化过程中，如果 f(x) f ( x ) 为无穷大，则 1f(x) 1 f ( x ) 为无穷小；反之，如果 f(x) f ( x ) 为无穷小，且 f(x)≠0 f ( x ) ≠ 0 ，则 1f(x) 1 f ( x ) 为无穷大

极限运算法则

有限个无穷小的和也是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小如果 limf(x)=A，limg(x)=B lim f ( x ) = A ， lim g ( x ) = B ，那么：

lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B lim [ f ( x ) ± g ( x ) ] = lim f ( x ) ± lim g ( x ) = A ± B lim[f(x)⋅g(x)]=limf(x)⋅limg(x)=A⋅B lim [ f ( x ) ⋅ g ( x ) ] = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x ) = A ⋅ B 若又有 B≠0 B ≠ 0 ，则 limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB lim f ( x ) g ( x ) = lim f ( x ) lim g ( x ) = A B 如果 limf(x) lim f ( x ) 存在，而 c c 为常数，则lim[cf(x)]=climf(x)" role="presentation">lim[cf(x)]=climf(x)lim[cf(x)]=climf(x)。即在求极限时，常数因子可以提取到极限记号外面。因为 limc=c lim c = c 如果 limf(x) lim f ( x ) 存在，而 n n 是正整数，则lim[f(x)]n=[limf(x)]n" role="presentation">lim[f(x)]n=[limf(x)]nlim[f(x)]n=[limf(x)]n设有数列 {xn} { x n } 和 {yn} { y n } ，如果 limn→∞xn=A，limn→∞yn=B， lim n → ∞ x n = A ， lim n → ∞ y n = B ， 那么：

limn→∞(xn±yn)=A±B lim n → ∞ ( x n ± y n ) = A ± B limn→∞xn⋅yn=A⋅B lim n → ∞ x n ⋅ y n = A ⋅ B 当 yn≠0(n=1,2,...) y n ≠ 0 ( n = 1 , 2 , . . . ) 且 B≠0 B ≠ 0 时， limn→∞xnyn=AB lim n → ∞ x n y n = A B 如果 φ(x)≥ψ(x) φ ( x ) ≥ ψ ( x ) ，而 limφ(x)=a，limψ(x)=b lim φ ( x ) = a ， lim ψ ( x ) = b ，那么 a≥b a ≥ b复合函数的极限运算法则：设函数 y=f[g(x)] y = f [ g ( x ) ] 是由函数 u=g(x) u = g ( x ) 与函数 y=f(u) y = f ( u ) 复合而成， f[g(x)] f [ g ( x ) ] 在点 x0 x 0 的某去心邻域内有定义，若 limx→x0g(x)=u0，limu→u0f(u)=A，且存在δ0>0 lim x → x 0 g ( x ) = u 0 ， lim u → u 0 f ( u ) = A ， 且 存 在 δ 0 > 0 ，当 x∈U˚(x0,δ0) x ∈ U ˚ ( x 0 , δ 0 ) 时，有 g(x)≠u0 g ( x ) ≠ u 0 ，则 limx→x0f[g(x)]=limu→u0f(u)=A lim x → x 0 f [ g ( x ) ] = lim u → u 0 f ( u ) = A

极限存在法则 两个重要极限

如果数列 {xn}、{yn} { x n } 、 { y n } 及 {zn} { z n } 满足下列条件：

从某项起，及 ∃n0∈N ∃ n 0 ∈ N ，当 n>n0 n > n 0 时，有： yn≤xn≤zn y n ≤ x n ≤ z n ， limn→∞yn=a，limn→∞zn=a lim n → ∞ y n = a ， lim n → ∞ z n = a ，那么数列 {xn} { x n } 的极限存在，且 limn→∞xn=a l i m n → ∞ x n = a 如果：

当 x∈U˚(x0,r) x ∈ U ˚ ( x 0 , r ) (或 |x|>M | x | > M )时， g(x)≤f(x)≤h(x) g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x ) ， limx→x0(x→∞)g(x)=A，limx→x0(x→∞)h(x)=A lim x → x 0 ( x → ∞ ) g ( x ) = A ， lim x → x 0 ( x → ∞ ) h ( x ) = A ，那么 limx→x0(x→∞)f(x) lim x → x 0 ( x → ∞ ) f ( x ) 存在，且等于 A A单调有界数列必有极限：

单调增加和单调减少的数列统称为单调数列如果数列不仅有界，并且是单调的，那么这数列的极限必定存在，也就是这数列一定收敛limx&#x2192;&#x221E;(1+1x)x=e" role="presentation">limx→∞(1+1x)x=elimx→∞(1+1x)x=e设函数 f(x) f ( x ) 在点 x0 x 0 的某个左邻域内单调并且有界，则 f(x) f ( x ) 在 x0 x 0 的左极限 f(x−0) f ( x 0 − ) 必定存在柯西极限存在准则：数列 {xn} { x n } 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 ϵ ϵ ，存在着这样的正整数 N N ，使得当m&gt;N&#xFF0C;n&gt;N" role="presentation">m>N，n>Nm>N，n>N时，就有 |xn−xm|<ϵ | x n − x m | < ϵ

无穷小的比较

如果 limβα=0 lim β α = 0 ，就说 β β 是比 α α 高阶的无穷小，记作 β=o(α) β = o ( α ) ；如果 limβα=∞ lim β α = ∞ ，就说 β β 是比 α α 低阶的无穷小；如果 limβα=c≠0 lim β α = c ≠ 0 ，就说 β β 与 α α 时同阶无穷小；如果 limβαk=c≠0，k>0 lim β α k = c ≠ 0 ， k > 0 ，就说 β β 是关于 α α 的 k k 阶无穷小；如果lim&#x03B2;&#x03B1;=1" role="presentation">limβα=1limβα=1，就说 β β 是 α α 高阶的无穷小，记作 α α ~ β β

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