面试中除了排序问题，还会经常出现字符串的子序列问题，这里讲解使用动态规划解决三个常见的子序列问题：
1、最长公共子序列问题（LCS，longest-common-subsequence problem）
2、最长连续公共子序列问题
3、最长递增子序列（LIS，longest-increment-subsequence）
最长公共子序列问题LCS
问题描述：
给定两个序列X=< x1,x2,...,xm x 1 , x 2 , . . . , x m >和Y=< y1,y2,...,yn y 1 , y 2 , . . . , y n >，求X和Y的最长公共子序列。（子序列可以是不连续的，比如{B,C,D,B}就是{A,B,C,B,D,A,B}的子序列）
例如：输入两个字符串 BDCABA 和 ABCBDAB，字符串 BCBA 和 BDAB 都是是它们的最长公共子序列，则输出它们的长度 4，并打印任意一个子序列。
动态规划
时间复杂度O(M*N)，空间复杂度O(M*N)。
在使用动态规划之前先规定一下符号，给定一个序列X=< x1,x2,...,xm x 1 , x 2 , . . . , x m >，定义 Xi X i 为X的前缀，即 Xi X i =< x1,x2,...,xi x 1 , x 2 , . . . , x i >。
在求X=< x1,x2,...,xm x 1 , x 2 , . . . , x m >和Y=< y1,y2,...,yn y 1 , y 2 , . . . , y n >的一个LCS时，我们需要求解一个或者两个子问题。如果 xm=yn x m = y n ，那么我们应该求解 xm−1=yn−1 x m − 1 = y n − 1 的一个LCS。如果 xm≠yn x m ≠ y n ，我们必须求解两个子问题：求 Xm−1 X m − 1 和 Y Y 的一个LCS与
所以递推公式为：
具体到实际的例子中：
代码
public class LCS {public static int[][] lengthofLCS(char[] X, char[] Y){/* 构造二维数组c[][]记录X[i]和Y[j]的LCS长度 (i,j)是前缀* c[i][j]=0; 当 i = j = 0;* c[i][j]=c[i-1][j-1]+1; 当 i = j > 0; Xi == Y[i]* c[i][j]=max(c[i-1][j],c[i][j+1]); 当 i = j > 0; Xi != Y[i]* 需要计算 m*n 个子问题的长度 即 任意c[i][j]的长度* -- 填表过程*/int[][]c = new int[X.length+1][Y.length+1];// 动态规划计算所有子问题for(int i=1;i<=X.length;i++){for (int j=1;j<=Y.length;j++){if(X[i-1]==Y[j-1]){c[i][j] = c[i-1][j-1]+1;}else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1]){c[i][j] = c[i-1][j];}else{c[i][j] = c[i][j-1];}}}// 打印C数组for(int i=0;i<=X.length;i++){for (int j=0;j<=Y.length;j++){System.out.print(c[i][j]+" ");}System.out.println();}return c;}// 输出LCS序列public static void print(int[][] arr, char[] X, char[] Y, int i, int j) {if(i == 0 || j == 0)return;if(X[i-1] == Y[j-1]) {System.out.print("element " + X[i-1] + " ");print(arr, X, Y, i-1, j-1);}else if(arr[i-1][j] >= arr[i][j-1]) {print(arr, X, Y, i-1, j);}else{print(arr, X, Y, i, j-1);}}public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubchar[] x ={'A','B','C','B','D','A','B'}; char[] y ={'B','D','C','A','B','A'}; int[][] c = lengthofLCS(x,y);print(c, x, y, x.length, y.length);}}
最长公共连续子序列（最长公共子串）
问题描述
给定两个序列X=< x1,x2,...,xm x 1 , x 2 , . . . , x m >和Y=< y1,y2,...,yn y 1 , y 2 , . . . , y n >，求X和Y的最长公共公共子序列。（连续子序列必须连续的）
例如：输入两个字符串 acbac和 acaccbabb，则最大连续子串为 “cba”, 则返回长度 3。
动态规划
时间复杂度O(M*N)，空间复杂度O(M*N)。
这个 LCS 跟前面说的最长公共子序列的 LCS 不一样，不过也算是 LCS 的一个变体，在 LCS 中，子序列是不必要求连续的，而子串则是 “连续” 的。
我们还是像之前一样 “从后向前” 考虑是否能分解这个问题，类似最长公共子序列的分析，这里，我们使用c[i,j] 表示 以 Xi 和 Yj 结尾的最长公共子串的长度，因为要求子串连续，所以对于 Xi 与 Yj 来讲，它们要么与之前的公共子串构成新的公共子串；要么就是不构成公共子串。故状态转移方程：
代码
public class LCString {public static int lengthofLCString(String X, String Y){/* 构造二维数组c[][]记录X[i]和Y[j]的LCS长度 (i,j)是前缀* c[i][j]=0; 当 i = j = 0;* c[i][j]=c[i-1][j-1]+1; 当 i = j > 0; Xi == Y[i]* c[i][j]=0; 当 i = j > 0; Xi != Y[i]* 需要计算 m*n 个子问题的长度 即 任意c[i][j]的长度* -- 填表过程*/int[][]c = new int[X.length()+1][Y.length()+1];int maxlen = 0;int maxindex = 0;for(int i =1;i<=X.length();i++){for(int j=1;j<=Y.length();j++){if(X.charAt(i-1) == Y.charAt(j-1)){c[i][j] = c[i-1][j-1]+1;if(c[i][j] > maxlen){maxlen = c[i][j];maxindex = i + 1 - maxlen;}}}}return maxlen;}public static void main(String[] args) {String X = "acbac";String Y = "acaccbabb";System.out.println(lengthofLCString(X,Y)); }}
最长递增子序列（longest-common-subsequence）
问题描述
给定一个序列X=< x1,x2,...,xm x 1 , x 2 , . . . , x m >，求X的最长递增子序列。（子序列可以是不连续的，比如{5,6,7,1,2,8} 的LIS是5,6,7,8
动态规划
时间复杂度O(N^2)，空间复杂度O(N)。
DP[i]怎么计算？
遍历所有j < i的元素，检查是否DP[j]+1>DP[i] && arr[j] < arry[i] 若是，则可以更新DP[i]
以{5,6,7,1,2,8} 的LIS是5,6,7,8举例：
如何选取DP[5]的值呢？就是在所有8之前的小于8的值（即j < i && arr[j] < arry[i]）中，选择dp[j]最大的值，
DP[i] = DP[j] + 1
DP[5] = DP[2] + 1 = 3 + 1 = 4
代码
int maxLength = 1, bestEnd = 0;DP[0] = 1;prev[0] = -1;for (int i = 1; i < N; i++){DP[i] = 1;prev[i] = -1;for (int j = i - 1; j >= 0; j--)if (DP[j] + 1 > DP[i] && array[j] < array[i]){DP[i] = DP[j] + 1;prev[i] = j;}if (DP[i] > maxLength){bestEnd = i;maxLength = DP[i];}
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