数论数学：欧拉恒等式的证明

今天突然想到我应经写过泰勒展开了！

正好又遇到了欧拉恒等式，就顺便在博客上记录一下啦。。

题目：

试 证 明 ： e π i + 1 = 0 试证明：e^{\pi i}+1=0 试证明：eπi+1=0

先将 e x e^x ex这个东西泰勒展开：

e π i = ∑ k = 0 ∞ π k i k k ! = 1 + π i − π 2 / 2 − π 3 i / 6 + π 4 / 24 … … e^{\pi i}=\sum_{k=0}^\infty \frac{\pi^k i^k}{k!}=1+\pi i-\pi^2/2-\pi^3 i/6+\pi^4/24…… eπi=k=0∑∞​k!πkik​=1+πi−π2/2−π3i/6+π4/24…… = ( 1 − π 2 / 2 + π 4 / 24 … … ) + i ( π − π 3 / 6 … … ) =(1-\pi^2/2+\pi^4/24……)+i(\pi-\pi^3/6……) =(1−π2/2+π4/24……)+i(π−π3/6……) = c o s ( π ) + i × s i n ( π ) = − 1 + 0 i = − 1 =cos(\pi)+i\times sin(\pi)=-1+0i=-1 =cos(π)+i×sin(π)=−1+0i=−1所以 e π i = − 1 , e π i + 1 = 0 e^{\pi i}=-1,e^{\pi i}+1=0 eπi=−1,eπi+1=0

感觉又水了一篇略略略

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