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【多目标进化优化】MOPSO 原理与代码实现

时间：2023-04-25 13:40:46

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前言

前驱知识

粒子群优化算法 PSO：/qq_46450354/article/details/127464089Pareto 最优解集：/qq_46450354/article/details/127917026

粒子群优化算法 PSO

pbest：粒子本身经历过的最优位置

gbest：粒子群整体经历过的最优位置

算法思路：在单目标优化中，通过自我认知 pbest 以及社会认知 gbest 来计算出每个个体下一次移动的速度，从而更新个体所处的位置 x，并更新个体 pbest，以及群体的 gbest，更新的依据直接通过比较目标函数值 function value 的大小即可。

PSO 算法流程图

PSO 引出 MOPSO

PSO 在用于单目标优化过程中，由于只有一个函数，两个个体之间可以通过直接比较大小来判断好坏，从而判断是否更新 pbest，gbest。在多目标问题中存在多个目标值，比如求两个目标函数的最小值，有两个个体 P1=(8,15),P2=(10,12){P_1} = (8, 15), P_2 = (10, 12)P1=(8,15),P2=(10,12)，P1{P_1}P1 的第一个目标函数值小于 P2{P_2}P2，而第二个目标函数值大于 P2P_2P2，如何判断谁更好呢？

问题：

如何更新多目标中的 pbest ？如何更新多目标中的 gbest ？对于多目标优化问题，输出的结果为一个集合，即 rep (非支配集/归档集) ，此集合的大小如何维护？并且 PSO 很容易陷入局部最优，如何避免呢？

注：rep 集，在部分文献中会称为 Archive 集，均为同一种，即当前迭代中的的非支配集，也称为归档集，为避免混淆，本文同一使用 rep 。

MOPSO 所解决的正是这些个问题，从而将单目标 PSO，变为了能够高效求解多目标优化的算法。下面我们来看看这些问题是如何解决的

1. 如何更新多目标中的 pbest ？

分为三种情况进行更新：

① 当新产生的个体 i 在每个目标函数值上都比 pbest 更优越，则更新 pbest （i 支配 pbest）② 当新产生的个体 i 在每个目标函数值上都比 pbest 更劣，则不更新（pbest 支配 i）③ 当新产生的个体 i 在部分目标函数值上比 pbest 优越，则随机按照一定的概率进行更新（i 与 pbest 互不支配）

2. 如何更新多目标中的 gbest ？

如何在所有互不支配的个体当中选出这个 leader 个体呢？这就需要引入自适应网格算法了

自适应网格算法

~~~~~~算法思路：将所有个体划分在不同的网格里面，再计算网格的密度，密度越小的网格，粒子越稀疏，个体被选择的概率越大（从而保证粒子的分布性）。具体步骤如下：

Step1：遍历集合种群中的所有个体，分别在每一个目标函数上找出所有个体中的最小值和最大值，如图所示，获得目标函数 f1f_1f1 上的最小值 min1min_1min1、最大值 max1max_1max1，以及目标函数 f2f_2f2 上的最小值 min2min_2min2、最大值 max2max_2max2。为了保证边界粒子 x1、x5x_1、x_5x1、x5 也能在网格内，需要进行延长操作，把最大最小值根据一定比例稍微延长一点，最后获得网格的边界 LB1、UB1、LB2、UB2LB_1、UB_1、LB_2、UB_2LB1、UB1、LB2、UB2

Step2：假设设置的参数n = 3，将网格平均切割成3 X 3 = 9个格子

Step3：摘选出其中有个体的网格，并计算这些网格中存储的个体总数，如：① = 1，② = 1，③ = 1，④ = 2

Step4：由前面获得的个体数根据公式计算这些网格的被选概率，个体越少被选概率越大，归一化所有网格的被选概率和为1。

Step5：根据前面计算的概率，采取轮盘赌方法选择一个网格，该网格中的个体作为gBest备选集，在备选集中采用随机选择的方法选择其中一个个体作为全局最优gBest

3. 如何维护 rep （非支配集/归档集) ？

同样可以采取自适应网格算法。即假设在加入新的非支配个体后，rep 库现在的长度是 m(m>N)m(m>N)m(m>N)，此时我们需要删除 m−Nm-Nm−N 个个体来保证 rep 不溢出。此时只需要通过自适应网格法从 rep 库中选择出一个最差劲个体然后从rep库中删除，如此循环 m−Nm-Nm−N 次，问题迎刃而解MOPSO 进行了三轮筛选

首先，根据支配关系进行第一轮筛选，将个体自身与上一次相比的劣解去除，即更新 pbest

将所有个体根据支配关系进行第二轮筛选，将劣解去除，并加入到 rep 归档集中，并计算个体所处的网格位置

最后，若归档集数量超过了存档阀值，则根据自适应网格进行筛选删除，直到阀值限额为止，重新进行网格划分。

4. 如何避免算法陷入局部最优？

Step1：对当前的粒子 x，根据当前迭代次数 It 和最大迭代次数 MaxIt 以及突变率 m 计算扰乱算子 p。

p=(1−(It−1)(MaxIt−1))(1/m)p = ( 1 -\frac{ ( It - 1 ) }{ ( MaxIt - 1 )} )^ {( 1 / m )}p=(1−(MaxIt−1)(It−1))(1/m)

Step2：获取随机数 rand，如果 rand < p，随机选择粒子的某个决策变量进行变异，其余决策变量不变；若 rand 不小于 p，则保持不变。

Step3：如果粒子需要变异，首先随机选择到粒子 x 的第 j 个决策变量 x(j)，然后根据扰乱算子计算变异范围 d，

d=p∗(VarMax−VarMin);d = p * (VarMax-VarMin);d=p∗(VarMax−VarMin);

式中，VarMaxVarMaxVarMax 和 VarminVarminVarmin 分别是规定的决策变量的最大值和最小值。

Step4：由 d 计算变异的上下界，上界 UB=x(j)+dUB=x(j) + dUB=x(j)+d，下界 LB=x(j)−dLB=x(j) - dLB=x(j)−d。同时注意越界处理：

UB=min(UB,Varmax),LB=max(LB,Varmin)UB=min(UB,Var_{max}),LB=max(LB,Var_{min})UB=min(UB,Varmax),LB=max(LB,Varmin)

Step5：最后根据变异的范围 [LB,UB][LB,UB][LB,UB] 随机获取新的 x(j)=unifrnd(lb,ub)x(j)=unifrnd(lb, ub)x(j)=unifrnd(lb,ub) ，即获得区间 (lb,ub)(lb,ub)(lb,ub) 中的一个随机数。

Step6：在粒子变异后，要比较变异后的粒子是否更优秀，如果变异后的粒子更优秀则更新粒子，否则不更新；同样还要比较新的粒子和粒子的 pBest，若新的粒子比 pBest 优秀则更新 pBest，否则不更新。

算法流程

综上可知 MOPSO 算法主要是针对以下一些问题进行研究：

如何选择 pbest。对于多目标来说两个粒子的对比，并不能对比出哪个好一些。如果粒子的每个目标都要好的话，则该粒子更优。若有些更好，有些更差的话，就无法严格的说哪个好些，哪个差一些。

如何选择 gbest。对于多目标来说，最优的个体有很多个。该如何选择，涉及到最优个体的存档、存档的管理等问题（多样性/分布性）

速度更新公式优化；

位置更新处理；

增加扰乱算子即变异算子的选择问题，主要是为了解决 PSO 快速收敛到局部最优的问题，增加扰乱可以使得收敛到全局最优

增加一些其他的操作来改善收敛性和多样性

补充

上述解决方案为较简单的方式，还可以有其他很多方式来解决这三类问题，从而实现不同的算法。MOPSO 做出的改进方向如下：

速度更新公式的优化，如：引入了一个收缩因子等

解决算法快速收敛陷入局部最优的问题，如：变异操作

算法收敛性和多样性的实现方式，如本文的自适应网格算法；

MOPSO 的存档方法

算法执行图

算法在ZDT1测试函数下的执行结果

利用综合指标（HV、IGD）测试算法在测试函数上的收敛性与分布性，在迭代完成后加上下面两段代码即可：

zdt1.mat：为测试函数 zdt1 的真是 Pareto 解集，在文章开头给出的 Gitee 地址中有

load('zdt1.mat'); % 真实 Pareto 解集HVResult = HV([rep.Cost]', zdt1)IGDResult = IGD([rep.Cost]', zdt1)

代码实现

mopso.mlx

Problem Definition

CostFunction = @(x) ZDT(x);% Cost FunctionnVar = 5; % Number of Decision VariablesVarSize = [1 nVar]; % Size of Decision Variables MatrixVarMin = 0;% Lower Bound of VariablesVarMax = 1;% Upper Bound of Variables

MOPSO Parameters

MaxIt = 200; % Maximum Number of IterationsnPop = 200; % Population SizenRep = 100; % Repository Sizew = 0.5; % Inertia Weightwdamp = 0.99; % Intertia Weight Damping Ratec1 = 1;% Personal Learning Coefficientc2 = 2;% Global Learning CoefficientnGrid = 7; % Number of Grids per Dimensionalpha = 0.1;% Inflation Ratebeta = 2; % Leader Selection Pressuregamma = 2; % Deletion Selection Pressuremu = 0.1; % Mutation Rate

Initialization

empty_particle.Position = [];empty_particle.Velocity = [];empty_particle.Cost = [];empty_particle.Best.Position = [];empty_particle.Best.Cost = [];empty_particle.IsDominated = [];empty_particle.GridIndex = [];empty_particle.GridSubIndex = [];pop = repmat(empty_particle, nPop, 1);for i = 1:nPoppop(i).Position = unifrnd(VarMin, VarMax, VarSize); % 产生范围内的连续随机数pop(i).Velocity = zeros(VarSize);pop(i).Cost = CostFunction(pop(i).Position);% Update Personal Bestpop(i).Best.Position = pop(i).Position;pop(i).Best.Cost = pop(i).Cost;end% Determine Dominationpop = DetermineDomination(pop);rep = pop(~[pop.IsDominated]); % 选出当前非支配个体Grid = CreateGrid(rep, nGrid, alpha); % 定义网格for i = 1:numel(rep)rep(i) = FindGridIndex(rep(i), Grid); % 给每个个体分配网格位置end

MOPSO Main Loop

for it = 1:MaxItfor i = 1:nPopleader = SelectLeader(rep, beta); % 轮盘赌选择 gbestpop(i).Velocity = w*pop(i).Velocity ...+c1*rand(VarSize).*(pop(i).Best.Position-pop(i).Position) ...+c2*rand(VarSize).*(leader.Position-pop(i).Position);% 更新位置pop(i).Position = pop(i).Position + pop(i).Velocity;% 越界判断pop(i).Position = max(pop(i).Position, VarMin);pop(i).Position = min(pop(i).Position, VarMax);% 计算新的目标值pop(i).Cost = CostFunction(pop(i).Position);if Dominates(pop(i), pop(i).Best) % 如果 i 支配 Best，则更新 Bestpop(i).Best.Position = pop(i).Position;pop(i).Best.Cost = pop(i).Cost;elseif Dominates(pop(i).Best, pop(i)) % 若 Best 支配 i ，则不更新% Do Nothingelse % 若互不支配，则产生随机数判断是否更新if rand<0.5pop(i).Best.Position = pop(i).Position;pop(i).Best.Cost = pop(i).Cost;endendend% Add Non-Dominated Particles to REPOSITORYrep = [reppop(~[pop.IsDominated])]; %#ok% Determine Domination of New Resository Membersrep = DetermineDomination(rep);% Keep only Non-Dminated Memebrs in the Repositoryrep = rep(~[rep.IsDominated]);% Update GridGrid = CreateGrid(rep, nGrid, alpha);% Update Grid Indicesfor i = 1:numel(rep)rep(i) = FindGridIndex(rep(i), Grid);end% Check if Repository is Fullif numel(rep)>nRepExtra = numel(rep)-nRep;for e = 1:Extrarep = DeleteOneRepMemebr(rep, gamma);endend% Plot Costsfigure(1);PlotCosts(pop, rep);pause(0.01);% Show Iteration Informationdisp(['Iteration ' num2str(it) ': Number of Rep Members = ' num2str(numel(rep))]);% Damping Inertia Weightw = w*wdamp;end

ZDT.m：测试函数 ZDT1

function z = ZDT(x)% Function: z = ZDT(x)%% Description: 此系列的测试函数总共有 6 个，ZDT1 ~ ZDT6, 属于数值型测试函数，%当前实现的测试函数为 ZDT1%%% Syntax:% %% Parameters:% x：决策变量%% Return:% z：函数结果 f1, f2%% Young99% Revision: Data: %*************************************************************************n = numel(x);f1 = x(1);g = 1+9/(n-1)*sum(x(2:end));h = 1-sqrt(f1/g);f2 = g*h;z = [f1f2];end

DetermineDomination.m：判断是否为非支配个体

function pop = DetermineDomination(pop)% Function: pop = DetermineDomination(pop)%% Description: 计算个体之间的支配关系，若被其他个体支配，将 IsDominated 设置为 true%%% Syntax:% %% Parameters:% pop：种群%% Return:% pop：进行非支配标记后的种群%% Young99% Revision:1.0Data: -12-07%*************************************************************************nPop = numel(pop);% 初始化每个个体均为非支配个体for i = 1:nPoppop(i).IsDominated = false;end% 两两个体比较for i = 1:nPop-1for j = i+1:nPopif Dominates(pop(i), pop(j))pop(j).IsDominated = true;endif Dominates(pop(j), pop(i))pop(i).IsDominated = true;endendendend

Dominates.m：两两个体之间比较大小

function b = Dominates(x, y)% Function: b = Dominates(x, y)%% Description: 比较两个个体的函数值%%% Syntax:% %% Parameters:% pop：种群%% Return:% b：比较结果，为布尔型%% Young99% Revision:1.0Data: -12-07%*************************************************************************if isstruct(x)x = x.Cost;endif isstruct(y)y = y.Cost;endb = all(x <= y) && any(x<y);end

CreateGrid.m：创建自适应网格

function Grid = CreateGrid(pop, nGrid, alpha)% Function: Grid = CreateGrid(pop, nGrid, alpha)%% Description: 为每一个目标函数，选出 pop 中个体目标函数值的最小及最大值% 将最小最大值利用 alpha 参数扩展一定的范围，作为当前维度网格的上下限%%% Syntax:% %% Parameters:% pop：rep 即为当前轮的非支配个体% nGrid：网格的维度大小% alpha：自定义参数，用于调整网格的最大最小上下线%% Return:% Grid：定义后的网格%% Young99% Revision:1.0Data: -12-07%*************************************************************************c = [pop.Cost];cmin = min(c, [], 2);cmax = max(c, [], 2);dc = cmax-cmin;cmin = cmin-alpha*dc;cmax = cmax+alpha*dc;nObj = size(c, 1);empty_grid.LB = [];empty_grid.UB = [];Grid = repmat(empty_grid, nObj, 1);for j = 1:nObjcj = linspace(cmin(j), cmax(j), nGrid+1);Grid(j).LB = [-inf cj];Grid(j).UB = [cj +inf];endend

FindGridIndex.m：为每个个体确定在网格中的位置

function particle = FindGridIndex(particle, Grid)% Function: particle = FindGridIndex(particle, Grid)%% Description: 为 rep 中的每个个体划分所在的网格，其中 % GridSubIndex 表示每维目标所对应的网格位置% GridIndex 表示将 GridSubIndex 归并为一个数来表示%%% Syntax:% %% Parameters:% particle：当前非支配集中的一个个体% Grid：已经划分好的网格，用于自适应网格算法%% Return:% particle：划分到对应网格后的个体%% Young99% Revision:1.0Data: -12-07%*************************************************************************nObj = numel(particle.Cost);nGrid = numel(Grid(1).LB);particle.GridSubIndex = zeros(1, nObj);for j = 1:nObjparticle.GridSubIndex(j) = ...find(particle.Cost(j)<Grid(j).UB, 1, 'first');end% 将高维转化为一维的空间索引particle.GridIndex = particle.GridSubIndex(1);for j = 2:nObjparticle.GridIndex = particle.GridIndex-1;particle.GridIndex = nGrid*particle.GridIndex;particle.GridIndex = particle.GridIndex+particle.GridSubIndex(j);endend

SelectLeader.m：利用网格聚集密度选择 gBest

function leader = SelectLeader(rep, beta)% Function: leader = SelectLeader(rep, beta)%% Description: 利用轮盘赌选出其中一个网格，网格聚集密度越小，越容易被选中，% 再在选中的网格中随机选出一个个体作为 leader 即 gbest%%% Syntax:% %% Parameters:% rep：当前迭代的非支配个体% beta：自定义参数%% Return:% leader：被选中的 gbest %% Young99% Revision:1.0Data: -12-07%*************************************************************************% Grid Index of All Repository MembersGI = [rep.GridIndex];% Occupied CellsOC = unique(GI);% Number of Particles in Occupied CellsN = zeros(size(OC));for k = 1:numel(OC)N(k) = numel(find(GI == OC(k)));end% Selection ProbabilitiesP = exp(-beta*N); % 注意这是有负数，表示个体数越多的网格被选择的概率越小P = P/sum(P); % 转化为和为 1 的概率% Selected Cell Indexsci = RouletteWheelSelection(P);% Selected Cellsc = OC(sci);% Selected Cell MembersSCM = find(GI == sc);% Selected Member Index，random selectionsmi = randi([1 numel(SCM)]);% Selected Membersm = SCM(smi);% Leaderleader = rep(sm);end

RouletteWheelSelection.m：轮盘赌

function i = RouletteWheelSelection(P)% 轮盘赌用于选择某个网格r = rand;C = cumsum(P);i = find(r <= C, 1, 'first');end

Mutation.m：变异操作

function particle = Mutation(particle, pm, VarMin, VarMax)% Function: particle = Mutation(particle, pm, VarMin, VarMax)%% Description: 随机选择一个决策变量进行变异，避免陷入局部最优%%% Syntax:% %% Parameters:% particle：个体决策变量% pm：扰乱算子% VarMin：变量最小值% VarMax：变量最大值%% Return:% particle：变异后的个体%% 99Young99% Revision:1.0Data: -12-09%*************************************************************************nVar = numel(particle);p = randi([1 nVar]); % 随机选取一个变异位置 px = particle(p);d = pm * (VarMax - VarMin);ub = x + d; lb = x - d;ub = min(ub, VarMax);lb = max(lb, VarMin);x = unifrnd(lb, ub, 1);particle(p) = x;end

DeleteOneRepMemebr.m：当 rep 超出阈值，进行删除操作

function rep = DeleteOneRepMemebr(rep, gamma)% Function: rep = DeleteOneRepMemebr(rep, gamma)%% Description: 利用轮盘赌选出其中一个网格，网格聚集密度越大，越容易被选中，% 再在选中的网格中随机选出一个个体删除%%% Syntax:% %% Parameters:% rep：当前迭代的非支配个体% beta：自定义参数%% Return:% leader：被选中的 gbest %% Young99% Revision:1.0Data: -12-07%*************************************************************************% Grid Index of All Repository MembersGI = [rep.GridIndex];% Occupied CellsOC = unique(GI);% Number of Particles in Occupied CellsN = zeros(size(OC));for k = 1:numel(OC)N(k) = numel(find(GI == OC(k)));end% Selection ProbabilitiesP = exp(gamma*N);P = P/sum(P);% Selected Cell Indexsci = RouletteWheelSelection(P);% Selected Cellsc = OC(sci);% Selected Cell MembersSCM = find(GI == sc);% Selected Member Indexsmi = randi([1 numel(SCM)]);% Selected Membersm = SCM(smi);% Delete Selected Memberrep(sm) = [];end

PlotCosts.m：画图可视化

function PlotCosts(pop, rep)pop_costs = [pop.Cost];plot(pop_costs(1, :), pop_costs(2, :), 'ko');hold on;rep_costs = [rep.Cost];plot(rep_costs(1, :), rep_costs(2, :), 'r*');xlabel('1^{st} Objective');ylabel('2^{nd} Objective');grid on;hold off;end

HV.m

function [Score,PopObj] = HV(PopObj,PF)% <metric> <max>% Hypervolume%------------------------------- Reference --------------------------------% E. Zitzler and L. Thiele, Multiobjective evolutionary algorithms: A% comparative case study and the strength Pareto approach, IEEE% Transactions on Evolutionary Computation, 1999, 3(4): 257-271.%------------------------------- Copyright --------------------------------% Copyright (c) - BIMK Group. You are free to use the PlatEMO for% research purposes. All publications which use this platform or any code% in the platform should acknowledge the use of "PlatEMO" and reference "Ye% Tian, Ran Cheng, Xingyi Zhang, and Yaochu Jin, PlatEMO: A MATLAB platform% for evolutionary multi-objective optimization [educational forum], IEEE% Computational Intelligence Magazine, , 12(4): 73-87".%--------------------------------------------------------------------------% % 这段代码是用来计算超体积指标的。它包含了一个 HV 函数，用于计算超体积指标，并输出其值和输入种群的结果。% % HV 函数的输入参数包括种群结果 PopObj 和理论最优结果 PF。它首先会将种群结果进行归一化，然后根据超体积指标的定义，计算种群结果与理论最优结果的相似度。% % 最后，HV 函数会输出计算得到的超体积指标值和归一化后的种群结果。% Normalize the population according to the reference point set[N,M] = size(PopObj);fmin = min(min(PopObj,[],1),zeros(1,M));fmax = max(PF,[],1);PopObj = (PopObj-repmat(fmin,N,1))./repmat((fmax-fmin)*1.1,N,1);PopObj(any(PopObj>1,2),:) = [];% The reference point is set to (1,1,...)RefPoint = ones(1,M);if isempty(PopObj)Score = 0;elseif M < 4% Calculate the exact HV valuepl = sortrows(PopObj);S = {1,pl};for k = 1 : M-1S_ = {};for i = 1 : size(S,1)Stemp = Slice(cell2mat(S(i,2)),k,RefPoint);for j = 1 : size(Stemp,1)temp(1) = {cell2mat(Stemp(j,1))*cell2mat(S(i,1))};temp(2) = Stemp(j,2);S_= Add(temp,S_);endendS = S_;endScore = 0;for i = 1 : size(S,1)p= Head(cell2mat(S(i,2)));Score = Score + cell2mat(S(i,1))*abs(p(M)-RefPoint(M));endelse% Estimate the HV value by Monte Carlo estimationSampleNum = 1000000;MaxValue = RefPoint;MinValue = min(PopObj,[],1);Samples = unifrnd(repmat(MinValue,SampleNum,1),repmat(MaxValue,SampleNum,1));if gpuDeviceCount > 0% GPU accelerationSamples = gpuArray(single(Samples));PopObj = gpuArray(single(PopObj));endfor i = 1 : size(PopObj,1)drawnow();domi = true(size(Samples,1),1);m = 1;while m <= M && any(domi)domi = domi & PopObj(i,m) <= Samples(:,m);m = m + 1;endSamples(domi,:) = [];endScore = prod(MaxValue-MinValue)*(1-size(Samples,1)/SampleNum);endendfunction S = Slice(pl,k,RefPoint)p = Head(pl);pl = Tail(pl);ql = [];S = {};while ~isempty(pl)ql = Insert(p,k+1,ql);p_ = Head(pl);cell_(1,1) = {abs(p(k)-p_(k))};cell_(1,2) = {ql};S = Add(cell_,S);p = p_;pl = Tail(pl);endql = Insert(p,k+1,ql);cell_(1,1) = {abs(p(k)-RefPoint(k))};cell_(1,2) = {ql};S = Add(cell_,S);endfunction ql = Insert(p,k,pl)flag1 = 0;flag2 = 0;ql = [];hp = Head(pl);while ~isempty(pl) && hp(k) < p(k)ql = [ql;hp];pl = Tail(pl);hp = Head(pl);endql = [ql;p];m = length(p);while ~isempty(pl)q = Head(pl);for i = k : mif p(i) < q(i)flag1 = 1;elseif p(i) > q(i)flag2 = 1;endendendif ~(flag1 == 1 && flag2 == 0)ql = [ql;Head(pl)];endpl = Tail(pl);end endfunction p = Head(pl)if isempty(pl)p = [];elsep = pl(1,:);endendfunction ql = Tail(pl)if size(pl,1) < 2ql = [];elseql = pl(2:end,:);endendfunction S_ = Add(cell_,S)n = size(S,1);m = 0;for k = 1 : nif isequal(cell_(1,2),S(k,2))S(k,1) = {cell2mat(S(k,1))+cell2mat(cell_(1,1))};m = 1;break;endendif m == 0S(n+1,:) = cell_(1,:);endS_ = S;end

IGD.m

function Score = IGD(PopObj,PF)% PopObej：算法求得的非支配解集% PF：真实 Pareto 解集% <metric> <min>% Inverted generational distance%------------------------------- Reference --------------------------------% C. A. Coello Coello and N. C. Cortes, Solving multiobjective optimization% problems using an artificial immune system, Genetic Programming and% Evolvable Machines, , 6(2): 163-190.%------------------------------- Copyright --------------------------------% Copyright (c) - BIMK Group. You are free to use the PlatEMO for% research purposes. All publications which use this platform or any code% in the platform should acknowledge the use of "PlatEMO" and reference "Ye% Tian, Ran Cheng, Xingyi Zhang, and Yaochu Jin, PlatEMO: A MATLAB platform% for evolutionary multi-objective optimization [educational forum], IEEE% Computational Intelligence Magazine, , 12(4): 73-87".%--------------------------------------------------------------------------% 通过 pdist 计算 PF 与 PopObj 两两欧式距离，通过 min 取每一行的最小值作为列向量% 最后再取所有距离的平均值，越小说明分布性和收敛性越Distance = min(pdist2(PF,PopObj),[],2); Score = mean(Distance);end