两个中心极限定理，摘自概率论与数理统计（第二版）
客观世界中的事物都不是孤立的，而是相互联系的。一个随机变量往往是众多相互独立的随机因素共同作用的综合结果。
在无穷级数的学习中，有时候有限项的和很难计算，但增加项数考虑无限项之和反倒容易计算。
例如公式：
中心极限定理1：
设随机变量X1,X2,…Xn相互独立，服从同一分布，且期望和方差分别为：。则随机变量之和的标准化变量为：
。
对于任意x满足：
这就是说明当n足够大时，标准化变量近似服从标准正态分布。
例题：某种电器元件的寿命服从均值为100的指数分布。现从大批这样的元件中随机地抽查16只，设他们的寿命是相互独立的。求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。
解：。有上述中心极限定理得：
即：
中心极限定理2:
对定理1上下同除以n，则得到随机变量的算术平均值的标准化满足：
其中：
。上式说明n个相互独立且同分布的随机变量的算术平均值以正太分布为其极限分布，即：
。
例题：对一个物理量独立地测量n次，每次测量产生的随机误差都服从（-1,1）上的均匀分布，如果取n次测量的算术平均值作为测量结果，求它与真值得差小于指定的正数u的概率。
解：随机误差的期望与方差为：。则
。
正态分布图像关于对称，则有
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