【题目呈现】
如下图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点A(一3,4)、B(一3,0)、C(一1,0),以D为顶点的抛物线y=ax²+bx+C经过点B,动点P从点D出发,沿DC边向点C运动,同时动点Q从点B出发,沿BA边向点A运动,点P、Q运动的速度均为每秒1个单位,运动的时间为t秒,过点P作PE⊥CD交BD于点E,过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G,连接QG.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当t为何值时,四边形BDGQ的面积最大?最大值为多少?
(3)动点P,Q运动的过程中,在矩形ABCD内(包括其边界)是否存在点H,使以B、Q、E、H为顶点的四边形为菱形?若存在,请求出此时菱形的周长;若不存在,请说明理由.
【思路分析】
(1)先求得顶点D的坐标,设抛物线的解析式为y=a(x+1)²+4(a≠0),将点B的坐标代入可求得a的值,因此可得到抛物线的解析式;
(2)由题意知DP=BQ=t,然后证明△DPE~△DCB,可得到PE=t/2,然后可用含t的式子表示点E的横坐标,进而求得点G的纵坐标,从而得GE的长,连接BG,然后根据S四边形BDGQ=S△BQG+S△BEG+S△DEG列出四边形的面积与t的函数关系式,利用配方法或二次函数的顶点坐标求解即可;
(3)首先用含t的式子表示出DE的长,当BE和BQ为菱形的邻边时BE=QB,可列出关于t的方程,从而求得t的值,然后可求得菱形的周长;当BE为菱形的对角线时,则BQ=QE,过点Q作QM⊥BE于M,则BM=EM,然后用含t的式子表示出BE的长,最后利用BE十ED=BD列出方程求出t的值,进而得出菱形的周长.
【答案与解析】
解:(1)由题意得,顶点D的坐标为(一1,4).设抛物线的解析式为y=a(X十1)²十4(a≠0),又其图象过点B(一3,0),代入可得a=一1,∴抛物线的解析式为y=一(x+1)²+4,即y=一x²一2x十3.
(2)由题意知,DP=BQ=t,易知PE∥BC,∴△DPE∽△DCB,∴DP/PE=DC/BC=2,∴PE=DP/2=t/2,∴点E的横坐标为一1一t/2,AF=2一t/2,将x=一1一t/2代入y=一(x+1)²十4,得y=一t²/4十4,∴点G的纵坐标为一t²/4十4,∴GE=一t²/4十4一(4一t)=一t²/4十t,如图1所示,连接BG.
则S四边形BDGQ=S△BQG十S△BEG十S△DEG=BQ×AF/2十EG(AF+DF)/2=t(2一t/2)/2一t²/4+t=一t²/2+2t=一1/2(t一2)²十2.∴当t=2时,四边形BDGQ的面积最大,最大值为2.
(3)存在,∵CD=4,BC=2,∴tan∠BDC=1/2,BD=2√5,∴cos∠BDC=2√5/5,∵BQ=DP=t,∴DE=√5t/2.如图2所示
当BE和BQ为菱形的邻边时,BE=QB.∵BE=BD一DE,∴BQ=BD一DE,即t=2√5一√5t/2,解得t=20一8√5,∴菱形BQHE的周长为80-32√5.
如图3所示
当BE为菱形的对角线时,BQ=QE,过点Q作QM⊥BE,垂足为M,则BM=EM,∵MB=cos∠QBM×BQ=cos∠BDC×BQ,∴MB=2√5t/5,∴BE=4√5t/5,∵BE十DE=BD,∴4√5t/5十√5t/2=2√5,解得t=20/13,∴菱形BQEH的周长为80/13.
【反思】求面积时,熟练掌握'铅垂底×水平高'这一方法。如本题中S△BEG十S△DEG=EG×(AF十DF)/2,讨论菱形时,抓住BE为边,BE为对角线,结合H点受矩形的限制,情况不算多。
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