假设检验中的两类错误

1、Ⅰ、Ⅱ类错误及其产生的原因2、两类错误的关系以及影响因素3、如何控制两类错误

1、Ⅰ、Ⅱ类错误及其产生的原因

虽然小概率事件发生的概率很小，但依然有可能发生。由于抽样的随机性，利用小概率原理对H0是否成立作为判断时，难免会犯两类错误。

第一类错误（α错误/弃真错误）：实际上H0H_0H0​为真时,但利用随机抽样样本，构建的小概率事件出现了，作出拒绝H0H_0H0​的决策，即α=P(拒绝H0H_0H0​|H0H_0H0​为真)

第二类错误（β错误/取伪错误）：实际上H0H_0H0​为伪时,但利用随机抽样样本，构建的小概率事件未出现了，作出接受H0H_0H0​的决策，即β=P(接受H0H_0H0​|H0H_0H0​为伪)

2、两类错误的关系以及影响因素

第一类错误的影响因素

由实际推断原理引起的，即“小概率事件不会发生”的假定所引起的，所以有理由将所有小概率事件发生的概率之和或者即显著性水平（α=0.05）看作α错误发生的概率，换言之，α错误发生的概率为检验所选择的显著性水平。如果是单侧检验，弃真错误的概率则为 α/2。

第二类错误的影响因素

通常情况下的做法只是控制犯第一类错误的概率α，而忽略第二类错误的概率β，但有些情况下，第二类错误不可忽视，为了实现对两类错误的控制，需要剖析两类错误的关系以及影响因素。

施行特征函数

定义若C是参数θ\thetaθ某检验问题的一个检验法，β(θ)=Pθ(接受H0)\beta(\theta)=P_{\theta}(接受H_0)β(θ)=Pθ​(接受H0​),称为检验法C的施行特征函数或者OC函数，其图形称为OC曲线。

若假定检验法的显著性水平α，即犯第一类错误的概率为Pθ∈H0≤α，则当P_{\theta \in H_0}≤α，则当Pθ∈H0​​≤α，则当θ∈H0\theta \in H_0θ∈H0​时，做出正确判断的概率为：Pθ∈H0(接受H0)=β(θ)P_{\theta \in H_0}(接受H_0)=\beta(\theta)Pθ∈H0​​(接受H0​)=β(θ) ≥ 1-α；则当$θ∈H1\theta \in H_1θ∈H1​时，犯第二类错误的概率为Pθ∈H0(接受H0)=β(θ)=βP_{\theta \in H_0}(接受H_0)=\beta(\theta)=\betaPθ∈H0​​(接受H0​)=β(θ)=β ，做出正确判断的概率为：Pθ∈H1(拒绝H0)=1−β(θ)P_{\theta \in H_1}(拒绝H_0)=1-\beta(\theta)Pθ∈H1​​(拒绝H0​)=1−β(θ) 。

在检验的过程中希望α与β都尽可能小，即做出正确判断的概率Pθ∈H0(接受H0)=β(θ)P_{\theta \in H_0}(接受H_0)=\beta(\theta)Pθ∈H0​​(接受H0​)=β(θ) ≥ 1-α与Pθ∈H1(拒绝H0)=1−β(θ)P_{\theta \in H_1}(拒绝H_0)=1-\beta(\theta)Pθ∈H1​​(拒绝H0​)=1−β(θ)都越大越好，但这种期望能否达到呢？

设总体X∼N(u,σ2)X\sim N(u,\sigma^2)X∼N(u,σ2),其中u未知，σ已知，X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_nX1​,X2​,...,Xn​是来自X的样本。在显示性水平α下，对u进

行左侧检验：

H0:u≥u0H_0:u≥u_0H0​:u≥u0​ vs H1:u<u0H_1:u<u_0H1​:u<u0​，拒绝域Xˉ−u0σ/n≤−zα\frac{\bar X-u_0}{\sigma/ \sqrt n}≤-z_ασ/n​Xˉ−u0​​≤−zα​

此检验的OC函数为：

β(u)=Pu(接受H0)=Pu(Xˉ−u0σ/n>−zα)=Pu(Xˉ−u0σ/n>−zα−u−u0σ/n)=ϕ(zα+λ)\beta(u)=P_u(接受H_0)=P_u(\frac{\bar X-u_0}{\sigma/ \sqrt n}>-z_α)=P_u(\frac{\bar X-u_0}{\sigma/ \sqrt n}>-z_α-\frac{ u-u_0}{\sigma/ \sqrt n})=\phi(z_\alpha+\lambda)β(u)=Pu​(接受H0​)=Pu​(σ/n​Xˉ−u0​​>−zα​)=Pu​(σ/n​Xˉ−u0​​>−zα​−σ/n​u−u0​​)=ϕ(zα​+λ)

其中，λ=u−u0σ/n\lambda=\frac{ u-u_0}{\sigma/ \sqrt n}λ=σ/n​u−u0​​,其OC曲线如图所示：

β(u)\beta(u)β(u)函数性质如下：

是λ\lambdaλ的连续单调递增函数；lim⁡u→∞ˉβ(u)=1\displaystyle\lim_{u \rightarrow \bar \infty}\beta(u)=1u→∞ˉlim​β(u)=1,lim⁡u→u0β(u)=1−α\displaystyle\lim_{u \rightarrow u_0}\beta(u)=1-\alphau→u0​lim​β(u)=1−α

由检验的OC函数，β(u)可知，β=Pu<u0(接受H0)=ϕ(zα+u−u0σ/n)β=P_{u<u_0}(接受H_0)=\phi(z_α+\frac{u-u_0}{\sigma/\sqrt n})β=Pu<u0​​(接受H0​)=ϕ(zα​+σ/n​u−u0​​)。因此，β的大小与显著性水平α、u的真实值、总体标准差σ、样本容量n有关。

显著性水平α

由分布函数的性质以及正态分布上的α分位可知，当其它条件不变时，α大，则β小；反之α小，必导致β大。故犯两类错误的概率α于β存在“此消彼长”的关系。

u的真实值

由OC函数的性质，lim⁡u→uˉ0β(u)=1−α\displaystyle\lim_{u \rightarrow \bar u_0}\beta(u)=1-\alphau→uˉ0​lim​β(u)=1−α可知，当u的真实值趋于uˉ0\bar u_0uˉ0​时，不管其它量如何变化，只要α取值较小，β几乎等于1-α。即对所有的u∈H1u\in H_1u∈H1​,控制β=Pu∈H1(接受H0)\beta=P_{u\in H_1}(接受H_0)β=Pu∈H1​​(接受H0​)都很小是不可能实现的。只有当u与u0的差距较大时，方可有办法将β控制在一定范围之内。

总体标准差σ

σ是离散趋势的主要度量指标，σ越大，抽取的随机样本的代表性相对较差，由β=Pu<u0(接受H0)=ϕ(zα+u−u0σ/n)β=P_{u<u_0}(接受H_0)=\phi(z_α+\frac{u-u_0}{\sigma/\sqrt n})β=Pu<u0​​(接受H0​)=ϕ(zα​+σ/n​u−u0​​)可知，在其他量一定的情况下，β是σ的增函数。因此，总体的标准差σ越小，β会越小。

样本容量n

样本容量n越大，抽选的随机样本所提供的有关总体的信息越多。由β=Pu<u0(接受H0)=ϕ(zα+u−u0σ/n)β=P_{u<u_0}(接受H_0)=\phi(z_α+\frac{u-u_0}{\sigma/\sqrt n})β=Pu<u0​​(接受H0​)=ϕ(zα​+σ/n​u−u0​​)可知，在u与u0的差距较大，其他量不变的情况下，β是n的减函数。因此，在此条件允许的情况下，增大样本容量n，β会随之减少。

犯β错误的概率的计算是比较复杂的，由于β错误的出现原因是属于逻辑上的，所以在总体参数不知道的情况下是无法计算它出现概率的大小的。

3、如何控制两类错误

犯第一类错误的概率α\alphaα可以通过适当改变检验的拒绝域来进行调整。

由上文可知，β的大小与显著性水平α、u的真实值、总体标准差σ、样本容量n有关。这四个因素中，u未知，σ通常已知，因此没有办法通过这两个因素来有效控制β；在一定条件下，显著性水平σ与β存在“此消彼长”的关系，并且β是样本容量n的减函数，但是即使增大α或者增大n,也无法实现对β量化。一般情况下，无法直接控制β，但是可以通过间接的措施达到对β的控制的目的。

结合假设检验的基本思想，H0与H1的不对等性、假设检验的目的以及检验结果的解释，具体措施入如下：

巧妙建立假设

成功的假设检验策略，以拒绝H0为检验目的，假设检验只能证明H0的伪，而不能证明H0的真。因此，在假设的建立过程中要谨慎小心。一般把传统的，原始的观念设立为H0;H0中应包含等号；后果严重的错误设定为第一类错误

谨慎解释检验的结果

检验统计量的观测值落入接受域，仅仅表明所构建的小概率事件没有发生，但是不能证实其它与H0相矛盾的小概率事件不发生。因此，但检验统计量的观测值落入接受域时，不能断定认为H0是正确的，此时犯第二类错误的概率β是未知。此时把检验的结果严谨解释为“没有发现充足的证据拒绝H0”。

恰当设置显著性水平α

不一味的追求α尽可能小，结合具体的问题仔细斟酌两类错误后果的严重性。若第一类错误的后面比较严重（判断一个人是否患病），而第二类错误的后果无足轻重，则可以选择较小的α；否则，需要放大α的取值；

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