理想的一维振荡系统由位于两面墙壁间的两个单位质点 m1 和 m2 组成。每个质点通过一根单位弹性常量弹簧连接到最近的墙壁。另外一根弹簧连接这两个质点。传感器以 Fs=16 Hz 的频率对 a1 和 a2(质点的加速度)采样。
将总测量时间指定为 16 秒。定义采样间隔 Δt=1/Fs。
Fs = 16;
dt = 1/Fs;
N = 257;
t = dt*(0:N-1);
系统可以由状态空间模型描述
x(n+1)=Ax(n)+Bu(n),y(n)=Cx(n)+Du(n),
其中 x=(r1v1r2v2)T 是状态向量，ri 和 vi 分别是第 i 个质点的位置和速度。输入向量 u=(u1u2)T，输出向量 y=(a1a2)T。状态空间矩阵为
A=exp(AcΔt),B=Ac-1(A-I)Bc,C=(-10-20),D=I,
连续时间状态空间矩阵为
Ac=(0100-000110-20),Bc=(00100001),
I 表示合适大小的单位矩阵。
Ac = [0 1 0 0;-2 0 1 0;0 0 0 1;1 0 -2 0];
A = expm(Ac*dt);
Bc = [0 0;1 0;0 0;0 1];
B = Ac\(A-eye(4))*Bc;
C = [-2 0 1 0;1 0 -2 0];
D = eye(2);
第一个质点 m1 接收正向的单位脉冲。
ux = [1 zeros(1,N-1)];
u0 = zeros(1,N);
u = [ux;u0];
使用该模型计算系统从全零的初始状态开始的时间演进。
x = [0;0;0;0];
for k = 1:N
y(:,k) = C*x + D*u(:,k);
x = A*x + B*u(:,k);
end
以时间函数形式绘制两个质点的加速度。
stem(t,y','.')
xlabel('t')
legend('a_1','a_2')
title('Mass 1 Excited')
grid
将系统转换为其传递函数表示形式。求得对第一个质点的正单位脉冲刺激的系统响应。
[b1,a1] = ss2tf(A,B,C,D,1);
y1u1 = filter(b1(1,:),a1,ux);
y1u2 = filter(b1(2,:),a1,ux);
绘制结果。传递函数提供与状态空间模型相同的响应。
stem(t,[y1u1;y1u2]','.')
xlabel('t')
legend('a_1','a_2')
title('Mass 1 Excited')
grid
系统将重置为其初始配置。现在，其他质点 m2 接收正向单位脉冲。计算该系统的时间演进。
u = [u0;ux];
x = [0;0;0;0];
for k = 1:N
y(:,k) = C*x + D*u(:,k);
x = A*x + B*u(:,k);
end
绘制加速度。将交换各个质点的响应。
stem(t,y','.')
xlabel('t')
legend('a_1','a_2')
title('Mass 2 Excited')
grid
求得对第二个质点的正单位脉冲刺激的系统响应。
[b2,a2] = ss2tf(A,B,C,D,2);
y2u1 = filter(b2(1,:),a2,ux);
y2u2 = filter(b2(2,:),a2,ux);
绘制结果。传递函数提供与状态空间模型相同的响应。
stem(t,[y2u1;y2u2]','.')
xlabel('t')
legend('a_1','a_2')
title('Mass 2 Excited')
grid
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