###纲要
排队现象与排队系统;
排队模型与系统参数;
排队系统时间参数分布规律;
排队系统的生灭过程与状态转移方程;
排队系统分析;
单服务台负指数分布模型多服务台负指数分布模型
排队系统优化分析;
排队论发源于上世纪初。
当时美国贝尔电话公司发明了自动电话，以适应日益繁忙的工商业电话通讯需要。这个新发明带来了一个新问题，即通话线路与电话用户呼叫的数量关系应如何妥善解决，这个问题久久未能解决。
1909年，丹麦的哥本哈根电话公司A.K.埃尔浪(Erlang)在热力学统计平衡概念的启发下予以解决了。
##1.1排队现象与排队系统
###一、排队现象
（1） 由于顾客到达和服务时间的随机性，现实中的排队现象几乎不可避免；（2） 排队过程，通常是一个随机过程，排队论又称“随机服务系统理论”；
###二、排队系统
（一）排队服务过程
（二）排队系统的要素及其特征
排队系统的要素：
（1） 顾客输入过程；
（2） 排队结构与排队规则；
（3） 服务机构与服务规则；
排队系统不同要素的主要特征：
（1）顾客输入过程
（2）排队结构与排队规则
（3）服务机构与服务规则
服务台(员)为顾客服务的顺序:
a) 先到先服务(FCFS);b) 后到先服务(LCFS);c) 随机服务; d) 优先服务;
##1.2排队模型与系统参数
###一、排队模型
(一)排队模型表示方法
——略去后三项，即指 “**X/Y/Z///FCFS**”；——这里仅研究FCFS的情形；
(二)到达间隔和服务时间典型分布
（1）泊松分布 **M** ； （2） 负指数分布 **M** ； （3） k阶爱尔朗分布**Ek**； （4） 确定型分布 **D**； （5） 一般服务时间分布 **G**；
(三)排队模型示例
——M/M/1，M/D/1，M/ Ek /1； ——M/M/c， M/M/c//m， ——M/M/c/N/ ，。。。
##2.1、系统参数
###(一)系统运行状态参数
####1、系统状态 N(t)
——指排队系统在时刻t时的全部顾客数 N(t)，
包括“排队顾客数”和“正被服务顾客数”；
——系统状态的可能值如下：
（1）系统容量无限制， N(t) =0，1，2，…;
(2) 系统容量为N时, N(t) =0,1,2,…,N;
(3) 服务台个数为c/损失制, N(t) =0,1,2,…,c;
一般,系统状态N(t)是随机的。
####2、系统状态概率：
——一般，排队系统运行了一定长的时间后，系统状态的概率分布不再随时间t变化，即初始时刻（t=0）系统状态的概率分布(Pn(0) ，n>>0）的影响将消失。
###(二)系统运行指标参数
——评价排队系统的优劣。
####1、队长与排队长
####2、逗留时间与等待时间
(1)逗留时间:
——指一个顾客在系统中的全部停留时间； 期望值，记为 Ws
(2)等待时间:
——指一个顾客在系统中的排队等待时间；期望值，记为 Wq
**Ws = Wq + E[服务时间]**
####3、其他相关指标
(1)忙 期: 指从顾客到达空闲服务机构起到服务
机构再次空闲的时间长度；
(2)忙期服务量：指一个忙期内系统平均完成
服务的顾客数；
(3)损失率: 指顾客到达排队系统，未接受服务
而离去的概率；
(4)服务强度： = /c ；
##3 排队系统时间参数分布规律
###一、顾客到达时间间隔分布
####(一)泊松流与泊松分布
如果顾客到达满足如下条件,则称为泊松流:
(1) 在不相互重叠的时间区间内，到达顾客数相互独立(无后效性).
(2) 对于充分小的时间间隔内，到达1个顾客的概率与t无关，仅与时间间隔成正比 (平稳性)：
(3) 对于充分小的时间间隔，2个及以上顾客到达的概率可忽略不计 (普通性)。
####(二)泊松流到达间隔服从负指数分布
###二、顾客服务时间分布
####(一)负指数分布
####(二)爱尔朗(Erlang)分布
##3.1 排队系统的生灭过程
###一、排队系统的生灭过程
####(一)生灭过程的背景与定义
####(二)生灭过程状态变化的性质
####(三) 排队系统的生灭过程
(1)生灭过程示意
(2)生灭过程定义
##4 典型排队系统分析
排队系统性能参数的一般关系 ——Little 公式
##4 .1 单服务台负指数分布M/M/1排队系统
. 模型的条件是：
1、输入过程――顾客源是无限的，顾客到达完全是随机的，单个到来，到达过程服从普阿松分布，且是平稳的；2、排队规则――单队，且队长没有限制，先到先服务；3、服务机构――单服务台，服务时间的长短是随机的，服从相同的指数分布 。对于M／M／1模型有如下公式：
####例1
某医院急诊室同时只能诊治一个病人，诊治时间服从指数分布，每个病人平均需要15分钟。病人按泊松分布到达，平均每小时到达3人。试对此排队系统进行分析。
##4 .2 多服务台负指数分布M/M/S排队系统
####1、状态概率
####2、主要运行指标
####3、系统状态N ≥S的概率
####例2
承接例1，假设医院增强急诊室的服务能力，使其同时能诊治两个病人，且平均服务率相同，试分析该系统工作情况。
####例3
某医院挂号室有三个窗口，就诊者的到达服从泊松分布，平均到达率为每分钟0.9人，挂号员服务时间服从指数分布，平均服务率每分钟0.4人，现假设就诊者到达后排成一队，依次向空闲的窗口挂号，显然系统的容量和顾客源是不限的，属于M/M/S型的排队服务模型。求：该系统的运行指标 ？
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