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一:马科维茨投资组合理论
投资组合(Portfolio)是由投资人或金融机构所持有的股票、债券、衍生金融产品等组成的集合。投资组合的目的在于分散风险,投资组合按粗略的分类有三种不同的模式可供运用,即积极的、中庸的和保守的。
投资组合理论[1]:若干种证券组成的投资组合,其收益是这些证券收益的加权平均数,但是其风险不是这些证券风险的加权平均风险,投资组合能降低非系统性风险。人们进行投资,本质上是在不确定性的收益和风险中进行选择。投资组合理论用均值-方差来刻画这两个关键因素。其中均值是指投资组合的期望收益率,它是单只证券的期望收益率的加权平均,权重为相应的投资比例。方差是指投资组合的收益率的方差。我们把收益率的标准差称为波动率,它刻画了投资组合的风险。
那么在证券投资决策中应该怎样选择收益和风险的组合呢?投资组合理论主要通过研究"理性投资者"优化投资组合。所谓理性投资者:是指在给定期望风险水平下对期望收益进行最大化,或者在给定期望收益水平下对期望风险进行最小化。
二:求解最优投资组合过程
本文最优投资组合思想是:在给定期望收益水平下对期望风险进行最小化的投资。利用的是马克维茨的均值-方差模型:
本文实现最优投资组合的主要步骤:
1:得到夏普比率最大时的期望收益
2:得到标准差最小时的期望收益
3:根据1,2所得的期望收益,获取预估期望收益范围,在预估期望收益范围内取不同值,获取其最小方差,得到预估期望收益与最小方差的关系即获得最小方差边界。
4:最小方差边界位于最小方差资产组合上方为有效边界
5;获取最小方差边界上最大夏普比率,绘出CML
6:得到最小方差边界上最大夏普比率处各股票权重
三:实证数据用例:
1:获取10股股票历史收盘价记录(.07.01—.07.01)(附件:stocks.xlsx)
stocks=['601166',#兴业银行
'600004',#白云机场
'300099',#精准信息
'601328',#交通银行
'601318',#中国平安
'601398',#中设股份
'000333',#美的集团
'600036',#招商银行
'600016',#民生银行
'601818']#光大银行
1.1:股票历史收盘价趋势折线图如下:
2:计算预期收益率:连续复利收益率即对数收益率(附件:stock_revs.xlsx)
revs=np.log(data/data.shift(1))
3:用蒙特卡洛模拟产生大量随机组合,得到随机权重投资组合散点图如下:
4:最优投资组合步骤:
4.1:得到夏普比率最大时的期望收益
def max_sharpe(weights):
return -getPortfolioInformation(weights)[2]
opts=sco.minimize(max_sharpe,numb*[1./ numb,], method='SLSQP',bounds=bnds, constraints=cons)
getPortfolioInformation(opts['x']).round(4)#opts['x']:得到夏普比率最大时的权重,收益率,标准差,夏普比率
#此时权重:[ 3.21290938e-01 5.00704152e-02 8.67642540e-02 0.00000000e+005.41874393e-010.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00
0.00000000e+00 5.15579333e-16]
#[收益率= 0.478 标准差=0.251夏普比率=1.904]
4.2:minimize:优化,最小化风险:方差最小化
def min_variance(weights):
return getPortfolioInformation(weights)[1]** 2
optv=sco.minimize(min_variance, numb *[1./ numb,],method='SLSQP', bounds=bnds,constraints=cons)
#此时权重:[ 1.18917047e-01 1.00755105e-011.04406546e-01 4.08438380e-024.53999968e-02 0.00000000e+00 0.00000000e+00 9.16150836e-18 5.89677468e-01 1.52059355e-17]
#[收益率= 0.309 标准差= 0.22 夏普比率=1.405]
4.3:获取有效边界
4.3.1:获取最小方差边界曲线图,最小方差资产组合,随机组合散点图:
指定收益率范围[0.1545, 0.5736],求最小方差:
def min_sd(weights):
return getPortfolioInformation(weights)[1]
tvols =[]
infor_min_sd=[]
#获取在指定期望收益下的最小标准差:
for tret in trets:
cons =({'type':'eq','fun': lambda x: getPortfolioInformation(x)[0]- tret},
{'type':'eq','fun': lambda x: np.sum(x)-1})
res = sco.minimize(min_sd, numb *[1./ numb,], method='SLSQP',bounds=bnds, constraints=cons)
infor_min_sd.append(res)# tret 唯一的
tvols.append(res['fun'])#获取函数返回值,即最小标准差
tvols = np.array(tvols)
ind_min_sd = np.argmin(tvols)#最小方差组合处进行划分,分两段
evols = tvols[:ind_min_sd]
erets = trets[:ind_min_sd]
tck = sci.splrep(erets,evols )#B-Spline样条曲线函数#前一个必须是唯一
y2= np.linspace(np.min(erets), np.max(erets), 100)
x2 = sci.splev(y2, tck)
evols = tvols[ind_min_sd:]
erets = trets[ind_min_sd:]
tck = sci.splrep(evols, erets)
x3 = np.linspace(np.min(evols), np.max(evols), 100)
y3 = sci.splev(x3, tck)
plt.figure(figsize=(10, 8))
plt.scatter(pvols, prets, c=prets/pvols,s=5, marker='.')
plt.plot(x2, y2,'g',label=u"最小方差边界")
plt.plot(x3, y3,'g',label=u"最小方差边界")
plt.axhline(y=rev_min_variance,color='b',label=u"最小方差资产组合")#最小方差资产组合
plt.plot(getPortfolioInformation(opts['x'])[1], getPortfolioInformation(opts['x'])[0],'r*', markersize=5.0)#最大夏普比率
plt.plot(getPortfolioInformation(optv['x'])[1], getPortfolioInformation(optv['x'])[0],'y*', markersize=5.0)#最小方差
plt.grid(True)
plt.xlabel('Expect Volatility')
plt.ylabel('Expect Return')
plt.show()
结果显示如下
4.3.2:获取有效边界曲线图:
plt.figure(figsize=(10, 8))
plt.scatter(pvols, prets, c=prets/pvols,s=5, marker='.')
plt.plot(x3, y3,'g',label=u"有效边界")
plt.plot(getPortfolioInformation(opts['x'])[1], getPortfolioInformation(opts['x'])[0],'r*', markersize=8.0)#最大夏普比率
plt.plot(getPortfolioInformation(optv['x'])[1], getPortfolioInformation(optv['x'])[0],'y*', markersize=8.0)#最小方差
plt.grid(True)
plt.xlabel('Expect Volatility')
plt.ylabel('Expect Return')
plt.show()
5:获取最小方差边界上最大夏普比率,绘出CML
5.1:B-Spline样条曲线的参数
tck = sci.splrep(evols, erets)
5.2:B-Spline样条曲线函数
def f(x):
return sci.splev(x, tck, der=0)
5.3:B-Spline样条曲线函数一阶导数
def df(x):
return sci.splev(x, tck, der=1)
5.4:构造非线性函数,使函数fun(x)无限逼近0向量, risk_free_return:无风险收益,默认为0.00
def fun(x, risk_free_return=0.00):
e1 = risk_free_return - x[0]
e2 = risk_free_return + x[1]* x[2]- f(x[2])
e3 = x[1]- df(x[2])
return e1, e2, e3
5.5 利用最小二乘法无限逼近0,无风险收益率:0,斜率:0.5,初始自变量:zone
X= sco.fsolve(fun,[0.00, 0.50, zone])
plt.figure(figsize=(12, 6))
#圆点为随机资产组合
plt.scatter(pvols, prets,c=prets/ pvols,s=5, marker='.')#随机组合散点集
plt.plot(x3, y3,'g',label=u"有效边界")
plt.plot(getPortfolioInformation(opts['x'])[1], getPortfolioInformation(opts['x'])[0],'g*', markersize=5.0)#最大夏普比率
plt.plot(getPortfolioInformation(optv['x'])[1], getPortfolioInformation(optv['x'])[0],'y*', markersize=5.0)#最小方差
#设定资本市场线CML的x范围从0到1.5最大夏普利率时标准差值
x = np.linspace(0.0, 1.5*zone)
#带入公式a+b*x求得y,作图
plt.plot(x, X[0]+ X[1]* x, lw=1.5)
#标出资本市场线与有效边界的切点,绿星处
plt.plot(X[2], f(X[2]),'r*', markersize=5.0)
plt.grid(True)
plt.axhline(0, color='k', ls='--', lw=2.0)
plt.axvline(0, color='k', ls='--', lw=2.0)
plt.xlabel('expected volatility')
plt.ylabel('expected return')
plt.colorbar(label='Sharpe ratio')
plt.show()
#最大夏普比率点:(0.251241778282 ,0.478266895458)
#切点:(0.251147161667, 0.4781282509275755)
结果图如下:
6:得到最小方差边界上最大夏普比率处各股票权重:
根据收益率差绝对值最小选取权重进行投资:
rev_result=f(X[2])
flag=0
temp=abs(trets[0]-rev_result)
length=len(trets)
for i in range(1,length):
if abs(trets[i]-rev_result)<temp:
temp=trets[i]-rev_result
flag=i
weight_result=infor_min_sd[flag]['x']
all=0 #最终为1.0
for i in range(10):
all=all+weight_result[i]
print('{:.5f}'.format(weight_result[i]))
# weight_result=[0.00000 0.04802#白云机场
0.000000.85880#交通银行0.000000.000000.000000.000000.09318#民生银行0.00000]
故最终投资股票是:
0.04802#白云机场
0.85880#交通银行
0.09318#民生银行
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