最近面试的时候，面试官问我怎么用蒙卡模拟无股息的美式期权定价。我瞬间石化。。。不怕死地申请了期权建模的实习。。。主要参考课件
主要内容二叉树定价推导+Python
Longstaff-Schwartz定价推导+Python
一、引言
本讲的大前提：股票无股息。
1、美式期权主要问题是：在
之间找到合适的停止点
，从而美式期在t时刻价值
其中，
是收益，又称为内在价值。等式不难理解：给定t时刻的期权价格为
，找到未来合适的停止点
，然后把那一刻的期权价值折现到t时刻。
注意：
是随机值(random variable)。对于股票过程(例如GBM)的每个不同路径，
可以不同。解决之道：每时每刻基于标的股票的当前价值、评估此刻执行期权是不是最优的。
可以证明，V(t,s)是下面方程的弱解(weak solution) ：
又是解PDE。。。我之前写过欧式期权的PDE，可参考丹尼尔：Code and Finance 4 期权定价之有限差分法
美式期权实际上有3中解法，①PDE(以后有空再整理)；②二叉树(Binomial tree)；③Longstaff-Schwarts(※※※)。本文主要讲解后两种~
二、二叉树求解美式期权定价
1、基本逻辑前提假设风险中性的世界中，衍生品的现值=未来预期收益的折现值，折现率为无风险收益率
。
股价在
的时间内，上升概率为
，下降概率为
；
即为无风险概率。
上升幅度为
，下降幅度为
；
当前时间是t=0，当前标的资产股价为
，当前衍生品价格为
；
时间后，股价要么上升到
，对应的衍生品价值为
；要么下降到
，对应的衍生品价值为
。
如何求解p？ ，那么
。
如何求解u和d？前提条件：
Grisanov's theoremu和d选择的必要条件：股价收益率的波动率在现实世界和风险中性世界一致(股价收益率在两个世界可以不同)。
综上：
2、实例+代码例子：当前股价为100，put行权价为100，时间为1年，无风险利率为0.1，年化波动率为0.2。求出当前时间的美式看跌期权价格。
假设我把1年的时间切分成100份，那么在最后一次，一共有101个分支价格，这就是S_T是101个数据点；然后分别和K进行比较，得到每个点的call/put价格。接着，将第100个时间点向第99个时间点折现，注意：
的期权折现值
。
接着，比较
提前行权的期权价值
和折现值的大小；哪个大那么就选择哪个。代码
import numpy as np
S0 = 100
K = 100
T = 1
r = 0.1
sig = 0.2
payoff = "put"
def getAmeOption(S0, K, T, r, sig, N, payoff):
# 将时间T拆分为N份，每份是dT。
dT = float(T) / N
#计算u，d，p，q。
u = np.exp(sig * np.sqrt(dT))
d = 1.0 / u
a = np.exp(r * dT)
p = (a - d)/(u - d)
q = 1.0 - p
# V承接N+1个价格
V = np.zeros(N+1)
# 注意S_T的生成顺序，是从u=0,d=N开始.
S_T = np.array( [(S0 * u**j * d**(N - j)) for j in range(N + 1)] ) # price S_T at time T
if payoff =="call":
V[:] = np.maximum(S_T-K, 0.0)
elif payoff =="put":
V[:] = np.maximum(K-S_T, 0.0)
for i in range(N-1, -1, -1):
# 这一步至关重要：V在第k轮迭代中，只关注0~N-k的位置，
# 每个位置=(下一个位置上升的期权*p+下一个位置下降的期权*q)*折现因子
V[:-1] = np.exp(-r*dT) * (p * V[1:] + q * V[:-1])
# 股价也进行新一轮的迭代，同样只有0~N-k是需要关注的，剩下的位置无关紧要。
S_T = S_T * u
# 比较此刻行权和下一轮预期收益的折现
if payoff=="call":
V = np.maximum( V, S_T-K )
elif payoff=="put":
V = np.maximum( V, K-S_T )
return V[0]
结果
getAmeOption(S0, K, T, r, sig, 10000, 'put')
getAmeOption(S0, K, T, r, sig, 10000, 'call')
put价格为4.81661591469，call价格为13.269467766434364。
三、Longstaff-Schwartz这个方法又称为是最小二乘法。
1、步骤详解——通过例子详细解答假设：我模拟了10条(paths=10)路径，以及将时间分成了4段(N=4，0-1-2-3)，
，每段时间的折现因子
，
。求出0时刻的call&put价格。
第一步：求出10条路径的股价发展过程首先，第0个时间点的10条路径是[100, ... 100](10个100)；
第1个时间点的10条路径计算方式是把第0条的10个100作为输入值，
=[95.84, ..., 121.39](10个随机数)；
第2个时间点的10条路径是把第1个时间点的10条路径的股价作为S0输入，结果为[93.16, ... , 135.93]；
第3个时间点的10条路径是把第2个时间点的10个路径的股价作为S0输入，结果为[103.58, ... , 145.24]。
因此股价的矩阵为
代码
from random import gauss
from math import exp, sqrt
def calculate_S_T(S, v, r, T):
"""模拟epsilon，计算S_T"""
return S * exp((r - 0.5 * v ** 2) * T + v * sqrt(T) * gauss(0.0, 1.0))
def getRoundStockPrice(S, v, r, N, T, rounds, paths):
firstRound = [S] * paths
nextRound = firstRound.copy()
for i in range(rounds):
nextRound1 = nextRound[-paths:]
for s in nextRound1:
nextS = calculate_S_T(s, v, r, T)
nextRound.append(nextS)
nextRound = np.array(nextRound).reshape((-1, paths)).T
return nextRound
S = 100
v = 0.2
r = 0.1
N = 3
T = 1 / N
paths = 10
S_Matrix = getRoundStockPrice(S, v, r, N, T, N, paths)第二步：求出每个时期行权的收益，称为exercise value(EV)call的EV=max(S-K, 0),put的EV=max(K-S, 0)，第三步t=3的时候，必须要行权，exercise value(EV)=holding value(HV)。
t=2的时候，计算第2期的收益现值HV，就是t=3的EV折现(这是因为第三期就到期了，第三期的EV=HV)，即为下两张表的第2列2callHV和2putHV。
然后，将t=2的EV>0的部分圈出来(※※※※※)，对于call而言，即为2.3.6.7.10，对于put而言，即为1.4.5.8.9；
然后对相应行进行least-squares回归，回归方程
；其中S是第2期的股价，HV是第二期的持有价值HV；即为y是2callHV(2putHV)，自变量是S2和S2^2；得到回归系数之后，再代入第二期的股价S，求出E(HV)；注意，put和call分开回归，不是一起回归。
然后计算出E(HV)，即为2callE(HV)和2putE(HV)，比较E(HV)和EV大小；如果E(HV)>EV，那么绝不提前行权；如果E(HV)≤EV，那么第二期立刻行权。最后，得到了第二期的期权情况，即为最后一列。t=1的时候，第2列1callHV和1putHV，分别是上面两张表的最后一列的折现值；第二列来自H矩阵在t=1的值；同样，圈出EV>0的情况，call是2、3、6、7、10行，put是1、4、5、8、9行，分别和S1&S1^2回归，然后计算得到1callE(HV)和1putE(HV)；比较E(HV)和EV的大小，if E(HV)>EV，绝不提前行权；else 提前行权；最终得到1call和1put。最后一步，将1call和1put分别计算均值，然后折现到t=0时期，即为
和二叉树差的有点远。。应该是我分的区间太小了。下面拆成10000*10000的网格点的时候，明显结果更加稳健。
2、代码详解
可以看到，上面的计算，程序基本大同小异，那么使用python一次性解决。
import scipy.stats as ss
import numpy as np
def LSM(S0, K, T, r, sig, payoff, N=10000, paths=10000, order=2):
dt = T/(N-1) # time interval
df = np.exp(r * dt) # discount factor per time time interval
X0 = np.zeros((paths,1))
increments = ss.norm.rvs(loc=(r - sig**2/2)*dt, scale=np.sqrt(dt)*sig, size=(paths,N-1))
X = np.concatenate((X0,increments), axis=1).cumsum(1)
S = S0 * np.exp(X)
if payoff == "put":
H = np.maximum(K - S, 0) # intrinsic values for put option
if payoff == "call":
H = np.maximum(S - K, 0) # intrinsic values for call option
V = np.zeros_like(H) # value matrix
V[:,-1] = H[:,-1]
# Valuation by LS Method
for t in range(N-2, 0, -1):
good_paths = H[:,t] > 0
# polynomial regression：将EV>0的部分挑出来回归
rg = np.polyfit( S[good_paths, t], V[good_paths, t+1] * df, 2)
# 估计E(HV)
C = np.polyval( rg, S[good_paths,t] )
# 如果E(HV)
exercise = np.zeros( len(good_paths), dtype=bool)
exercise[good_paths] = H[good_paths,t] > C
V[exercise,t] = H[exercise,t]
V[exercise,t+1:] = 0
discount_path = (V[:,t] == 0)
V[discount_path,t] = V[discount_path,t+1] * df
V0 = np.mean(V[:,1]) * df #
return V0
结果
call = LSM(100, 100, 1, 0.1, 0.2, 'call', N=10000, paths=10000, order=2)
put = LSM(100, 100, 1, 0.1, 0.2, 'put', N=10000, paths=10000, order=2)
得到call=13.297700328385172，put=4.755646113796444。
基本和二叉树的结果一致。
整理了一天，终于完成这篇小作业~对于二叉树定价，我这里也是第一次试验，结果还挺不错；以前以为二叉树是不是太简单的，现在来看，结果和复杂的Longstaff-Schwartz结果一致；而且运行速度也更占优势。
以上是美式无股息期权定价推导+Python代码，希望能够给你带来帮助~
参考
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