1.引言——生命游戏
1970年，英国数学家约翰·何顿·康威提出了生命游戏（Life Game）。生命游戏本质是一个元胞自动机模型，每个元胞可以看作是一个细胞，细胞的产生、繁衍和死亡拥有3条演化规则。
1． 如果一个细胞周围有3个细胞为生（一个细胞周围共有8个细胞），则该细胞为生（即该细胞若原先为死，则转为生，若原先为生，则保持不变） 。
2． 如果一个细胞周围有2个细胞为生，则该细胞的生死状态保持不变；
3． 在其它情况下，该细胞为死（即该细胞若原先为生，则转为死，若原先为死，则保持不变）
元胞空间在给定的初始状态下，根据以上3条规则，可以演化出千奇百怪的二维生命形式。在游戏的进行中，杂乱无序的细胞会逐渐演化出各种精致、有形的结构；这些结构往往有很好的对称性，而且每一代都在变化形状。一些形状已经锁定，不会逐代变化。有时，一些已经成形的结构会因为一些无序细胞的“入侵”而被破坏。但是形状和秩序经常能从杂乱中产生出来。
Matlab上的生命游戏代码如下。
%名称：生命游戏%作者：Lu Jianchengclear%清除变量clc%清屏 %创建GUI界面h=figure(1);set(h,'Name','Life Game','Position',[500,100,600, 600]);%[左侧位置,下侧位置,宽度,高度]axe=axes('Parent', h);%set(axe,'Box','on','Position',[50,50,300,300]);%txt=uicontrol('parent', h,'Style','text', 'string','Life Game', 'fontsize',12, 'position',[100,750,300,25]);runbutton=uicontrol('parent',h,'Style','pushbutton','string','run','callback','runflag=1;','position',[100,650,50,25]);stopbutton=uicontrol('parent',h,'Style','pushbutton','string','stop','callback','runflag=0;','position',[200,650,50,25]);stepbutton=uicontrol('parent',h,'Style','pushbutton','string','step','callback','runflag=0;step=1;','position',[300,650,50,25]);stepwin = uicontrol('parent', h,'Style','text', 'string','0', 'fontsize',12, 'position',[400,800,100,20]);%生命游戏代码%参数Random=1;%选择初始化方式maxtime=300;p=0.3;n=128;%cells=zeros(n,n);%建立一个平面矩阵%几种特定的初始状态%% initial_cells=[ 0 0 1;% 1 0 1;% 0 1 1];% initial_cells=[ 0 1 0;% 1 1 1;% 0 1 0];initial_cells=[0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0;1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1;0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0;1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];if Random%初始化部分for i=1:nfor j=1:nif rand()<pcells(i,j)=1;endendendelse %装载特殊图形%cells(10:25,10:25)=initial_cells;cells=initial_cells;%cells(49:51,49:51)=initial_cells;[n,~] = size(initial_cells);end%演化部分pic=imshow(initial_cells,'Parent', axe,'XData',[0,100],'YData',[0,100]);%绘图t=0;runflag=1;upside=0;downside=0;leftside=0;rightside=0;step=0;while(t<maxtime)while(t<maxtime&&(runflag==1||step==1))%演化规则nextcells=cells;for i=1:nfor j=1:n%周期性边界处理if(i==n)downside=1;upside=i-1;elseif(i==1)downside=i+1;upside=i-1+n;elsedownside=i+1;upside=i-1;endif(j==n)rightside=1;leftside=j-1;elseif(j==1)rightside=j+1;leftside=j-1+n;elserightside=j+1;leftside=j-1;end%边界处理结束Sum=cells(upside,leftside)+cells(upside,j)+cells(upside,rightside)+cells(i,leftside)+cells(i,rightside)+cells(downside,leftside)+cells(downside,j)+cells(downside,rightside); if(Sum==3)nextcells(i,j)=1;elseif Sum~=2nextcells(i,j)=0;end endendcells=nextcells;%演化规则结束pic=imshow(cells,'Parent', axe,'XData',[0,100],'YData',[0,100]);%绘图t=t+1;%时间前进1sset(stepwin,'string',t)step=0;pause(0.1);endpause(0.1);end
运行这段代码，随机初始化元胞空间，可以看到演化过程中逐渐出现有规律的形状。
2.时间反演
时间反演的原始思路是这样。假设演化时间为100 step，每一步时都对元胞空间的状态进行一次快照，保存下来。然后从时间步100开始，一直到第1步。每次载入那一步的元胞空间，如同倒放胶片一样。这样从观察者看来，生命游戏中的时间就好像在倒流。
原始思路有需要保存每一时间步的演化状态，才能实现时间的反转。这样将会消耗大量的内存空间。这样我们自然会想到，能不能在不利用额外内存空间，而只利用元胞自动机本身的元胞空间，就可以实现时间反演？
思路可以是这样的，可以提出基于生命游戏现有的元胞演化规则的逆规则，然后只要将时间步反过来进行演化，就可以实现时间反演的现象。
那么存不存在逆规则呢？生命游戏的逆规则可能比较难以推导，甚至某些情况下是不存在的。
假设在时刻t元胞空间内只有一个细胞，按照生命游戏的三条规则，时刻t+1元胞空间内将空无一物，没有一个细胞。这样即使存在逆规则，也无法实现时间反演，因为任何一个空元胞都可能在上一个时刻是活细胞。
3.物理系统
那么存不存在逆规则呢？生命游戏的逆规则可能比较难以推导，甚至某些情况下是不存在的。但下面这个假设的物理系统的逆规则还是比较好推导的。
该假设的物理系统是这样。
1. 元胞可以看作是一个有质量的点，空白表示质量为0，否则质量为1。
2. 质点之间存在吸引力F，F的大小和质点之间的距离成反比。
3. 质点存在速度，决定质点的移动方向和每一时间步的移动距离。
4. 作用力F会产生加速度，加速度决定速度的变化方向和每一时间步的变化大小。
这样一个元胞自动机系统的演化情况如下图所示。
该系统内有两个质点，有沿x方向的初始速度，其Matlab仿真代码如下。
p1=[1,100]; %位置（x,y)v1=[1,0]; %速度（x,y)p2=[1,1]; %位置（x,y)v2=[1,0]; %速度（x,y)x = [1];y1 = [100] ;y2 = [1] ;dt = 1;T =[1];V1L=[0];V2L=[0];A1L=[0];A2L=[0];for t =2:1:100F =100/(max(p1(2) - p2(2),3.0))^2;a1 = F*sign(p2(2) - p1(2));a2 = F*sign(p1(2) - p2(2));A1L = [A1L,a1];A2L = [A2L,a2];v1(2) = v1(2) +a1*dt;v2(2) = v2(2) +a2*dt;V1L = [V1L,v1(2)];V2L = [V2L,v2(2)];p1 = p1 + v1*dt;p2 = p2 + v2*dt;x = [x,p1(1)];y1 = [y1,p1(2)];y2 = [y2,p2(2)];T = [T,t];endplot(x,[y1;y2]);
运行这段代码可以看到两个质点的位置随着时间的变化。
在这样的一个系统里只要将时间步改为-1，就可以实现时间的反演，而不用采用逆规则。反演的图像如下，在前100时间步正向演化，在101时间步到200时间步逆向演化。
可以用以下的代码实现。
dt = -1;for t =101:1:200F =100/(max(p1(2) - p2(2),3.0))^2;a1 = F*sign(p2(2) - p1(2));a2 = F*sign(p1(2) - p2(2));v1(2) = v1(2) +a1*dt;v2(2) = v2(2) +a2*dt;p1 = p1 + v1*dt;p2 = p2 + v2*dt;x = [x,p1(1)];y1 = [y1,p1(2)];y2 = [y2,p2(2)];T = [T,t];End
4.结论
在元胞自动机可以实现一些物理系统，实现基于逆规则的时间反演。这种逆规则甚至可以和原来的规则相同，只需要改变时间步长为负值即可。而生命游戏这种系统，则无法实现基于逆规则的时间反演。
基于逆规则的反演是不需要快照方式，不用记录每一时间步的状态，更符合真实物理实际的情形。如果这种逆规则等同于原规则，我们可以认为该系统的物理规则具有时间对称性。
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