文章目录
1 进制转换2 定点数表示及其运算2.1 定点数表示2.1.1 真值→补码2.1.2 补码→真值2.1.3 [XT]补 →[-XT]补2.1.4 真值、原码、反码、补码转换关系图形总结2.2.4 移码2.2 定点数运算2.2.1 移位运算2.2.2 定点数加减运算2.2.3 溢出判断判溢出方法一判溢出方法二判溢出方法三3 浮点数及其运算3.1 浮点数表示3.2 浮点数规格化3.3 规格化浮点数的特点3.4 IEEE754 标准3.5 浮点数加减3.5.1 浮点数的加减运算实例3.5.2 舍入3.6 浮点数强制类型转换1 进制转换
任意进制→十进制
已知K、r、n
按权展开相加法
十进制→任意进制
除基取余法:
乘基取整法:
进制之间的转换
分组转换:
2n进制之间的转换:二进制、四进制、八进制、十六进制
二进制一>四进制、八进制、十六进制
n
位一组,每组转换成对应进制的符号,位数不够补左边最高位0
和右边最低位0
四进制、八进制、十六进制一>二进制
每位写成对应的二进制形式
BCD码
用途:可以实现二进制,十进制的快速转换(一一对应)
8421码,4位一组的二进制表示十进制对应的符号
遇到8421码某组上的计算产生超过1001时,需进行加6(0110)进行结果修正
2 定点数表示及其运算
小数点位置约定在固定位置的数称为定点数
小数点位置约定为可浮动的数称为浮点数
2.1 定点数表示
定点数可分为无符号数和有符号数
无符号数:整个机器字长的全部二进制位均为数值位,没有符号位,相当于数的绝对值。无符号数表示范围:n位的无符号数表示范围为:0~2n-1
有符号数对应真值和机器数
真值和机器数
2.1.1 真值→补码
正数:[X]原=[X]反=[X]补 正数原反补一样负数:求补码:原符号位不变,数值部分按位取反,末尾+1
求反码:符号位不变,数值位按位取反
2.1.2 补码→真值
按位取反+1
[XT]补 =1 0110100
[XT]= -(1001011+1)= -1001100
2.1.3 [XT]补 →[-XT]补
连同符号位各位取反,末尾+1
[XT]补=1 0110100
[-XT]补= 0 1001100
2.1.4 真值、原码、反码、补码转换关系图形总结
2.2.4 移码
浮点数阶码用移码表示,移码只用来表示定点整数
设E
为阶码,阶码的移码表示位n
位,[E]移=2n-1+E(2n-1为偏置常数)
2.2 定点数运算
2.2.1 移位运算
r
进制右移n位:÷ rn
左移n位: × rn
机器数采用无符号数:逻辑移位
逻辑左移时,高位移丢,低位添0;逻辑右移时,低位移丢,高位添0
机器码采用有符号数:算术移位
算术移位:左移相当于乘以基数,右移相当于除以基数
符号位不参与移位
1,0110101 真值-53左移1位(丢0):1,110101 0真值-106右移1位(丢1):1,0 011010真值-26 假设不丢1:1,0011010.1 真值-26.5再左移1位(丢1):1,1010100 真值-84 假设不丢1:1,111010100 真值-212再右移1位(丢0):1,0001101 真值-13
结论:原码算术移位:左移丢1,运算出错;右移丢1,影响精度。
正数:原码、补码、反码一样→左移、右移都补0
负数:反码1<——>原码0
2.2.2 定点数加减运算
补码的主要作用:两个有符号数可以直接相加
加减运算基本思路:
转换成x+y的形式计算[x]补+[y]补
例题:设机器字长为8位(含1位符号位),A=15,B=-24,求[A+B]补和[A-B]补
走捷径:十进制运输完毕将结果转换为补码
也可以先转化为补码,再将补码进行符号扩展
[A+B]补=[A]补+[B]补=0,0001111+1,1101000=1,1110111
补码1,1110111,对应原码:1,0001001 真值就是-9,15+(-24)=-9
[A-B]补=[4]补+[-B]补=0,0001111+0,0011000=0,0100111
补码0,0100111对应真值+39,15-(-24)=+39
[-B]补:[B]补连同符号位一起取反加1
2.2.3 溢出判断
正溢出:两个正数做加法得负数
负溢出:两个负数做加法得正数
例:A=15,B=-34,C=124,求[A+C]补和[B-C]补
[A+C]补=00001111+01111100=110001011 真值-11→正溢出
[B-C]补=1101000+0000100=101101100 真值+108→负溢出
判溢出方法一
采用一位符号位设A的符号为As,B的符号为Bs,运算结果的符号为Ss,则溢出逻辑表达式为
V表示含义:[As为1且Bs为1且Ss为0] 或 [As为0且Bs为0且Ss为1]
若V=0,表示无溢出;
若V=1,表示有溢出。
补充逻辑表达式:
与:如ABC,表示A与B与C仅当A、B、C均为1时,ABC为1
A、B、C中有一个或多个为0,则ABC为0或:如A+B+C,表示A或B或C仅当A、B、C均为0时,A+B+C为0
A、B、C中有一个或多个为1,则A+B+C为1
判溢出方法二
采用一位符号位,根据数据位进位情况判断溢出
即:Cs与C1不同时有溢出
处理“不同”的逻辑符号:异或
溢出逻辑判断表达式为:
若V=0,表示无溢出;
V=1,表示有溢出。
补充异或:
判溢出方法三
采用双符号位,配合补码
正数符号为00,负数符号为11
[A+C]补=00,0001111+00,1111100=01,0001011→正溢出
[B-C]补=11,1101000+11,0000100=10,1101100→负溢出
记两个符号位为Ss1Ss2,则
若V=0,表示无溢出;
若V=1,表示有溢出。
利用双符号位计算[A+B]补和[A-B]补
[A+B]补=00,0001111+11,1101000=11,1110111
[A-B]补=00,0001111+00,0011000=00,0100111
采用双符号位的移位运算:低位符号位参与移位,高位符号位代表真正的符号
11,1110111 右移1位: 11,1111011 //低位符号位参与右移,对于负数补码,符号位空出的部分补100,0100111 左移1位: 00,1001110 //左移一位,数值位最高位0移到符号位低位,数值位低位空出的部分则补000,0100111 左移2位: 01,0011100 正溢出
3 浮点数及其运算
3.1 浮点数表示
任意一个二进制数X可以表示为: X=(-1)S× M × RE
S
取值为0或1,用来决定X
的符号
M
是一个二进制定点小数,称为数X
的尾数
E
是一个二进制定点整数,称为X
的阶码或指数
R
是基数,可以取值为 2、4、16
阶码:常用补码或移码表示
尾数:常用原码或补码表示
阶码
E
反映浮点数的表示范围及小数点的实际位置;尾数M
的数值部分的位数n
反映浮点数的精度。
例:阶码、尾数均用补码表示,求b的真值
如果尾数部分只存储1001,怎么处理?----→规格化
3.2 浮点数规格化
规格化:规定尾数的最高数位必须是一个有效值。对于二进制来说最高位数1有效,对于其他进制,不是0则有效
左规:当浮点数运算的结果为非规格化时要进行规格化处理,将尾数左移一位,阶码减1(基数为2时)。
右规:当浮点数运算的结果尾数出现溢出(双符号位为01或10)时,将尾数右移一位,阶码加1(基数为2时)。
例:a=010;00.1001,b=010;00.1000,求a+b
a=22 × 00.1001; b=22 × 00.1000
a+b=22 × 00.1001+22 × 00.1000
=22 ×(00.1001+00.1000)
=22 × 01.0100 →尾数溢出,右规
=23 × 00.1010
3.3 规格化浮点数的特点
规格化浮点数的尾数M的绝对值应满足:1/r<|M|<1
如果r=2,则有1/2<M<1
原码规格化后:
正数为0.1××…×的形式,其最大值表示为0.11…1;最小值表示为0.10…0。补码规格化后:尾数的表示范围为 1/2≤M≤(1-2-n)。负数为1.1××.…×的形式,其最大值表示为1.10…0;最小值表示为1.11…1。
尾数的表示范围为 -(1-2-n)≤M≤ -1/2。
正数为0.1××…×的形式,其最大值表示为0.11…1;最小值表示为0.10…0。尾数的表示范围为 1/2≤M≤(1-2-n)。负数为1.0××.…×的形式,其最大值表示为1.01…1;最小值表示为1.00…0。
尾数的表示范围为 -1≤M≤ -(1/2+2-n)。
3.4 IEEE754 标准
尾数规格化,最高位肯定为1,若尾数原码
xx...x
,则尾数是1.xx...x
阶码部分用移码表示的,由移码得真值要减去偏置值
短浮点数:
长浮点数:
IEEE754 标准下短浮点数和长浮点数的真值:
IEEE 754 标准一些规定(短浮点数为例):
E=0且M=0,则真值为0E=0且M≠0,为非规格化数,真值 =(-1)s×0.M×2-1261≤E≤254时,真值 =(-1)s×1.M×2E-127E=255且M≠0时(阶码全1,尾数不为0),真值为NaN
(非数值)E=255且M=0时,真值为正无穷或负无穷(看符号位)
IEEE 754浮点数表示范围3.5 浮点数加减
浮点数加减运算步骤:
对阶尾数加减规格化舍入判溢出一般在对阶之前就有必须要把真值转化为机器数的步骤(即用补码表示阶码和尾数)
3.5.1 浮点数的加减运算实例
例:已知十进制数X=-5/256、Y=+59/1024,按机器补码浮点运算规则计算X-Y,结果用二进制表示,浮点数格式如下:阶符取2位,阶码取3位,数符取2位,尾数取9位
先进行格式转换:用补码表示阶码和尾数将X的阶码转化为机器数:-101 补码:1 011,再变为双符号位(阶符取两位): 11 011(11 代表负,00代表正),数值部分(阶码)3位不需要扩展将X的尾数转化为机器数:-0.101 补码:1.011 ,再变为双符号位(数符取两位):11.011,尾数取9位则扩展到9位:11.011000000(小数低位添0,整数高位添0)
转化完毕X,Y机器数表示:X:11 011,11.011000000 ;Y:11 100,00.111011000
转化完接下来就是对阶
对阶对阶目的:使两个数的阶码相等,小阶向大阶看齐,尾数每右移一位,阶码加1
①求阶差:[△E]补=[X阶]补+[-Y阶]补=11011+00100=11111,知△E=-1(被减的数转化为相反数的补码形式,即[Y]补→[-Y]补→连同符号位按位取反,末尾+1)
②对阶X 向Y看齐:X:11011,11.011000000→11100,11.101100000(X尾数右移1位,阶码+1)
尾数左移/右移:双符号位也要参与移位
接下来进行尾数加减,原理就是提取公因式
尾数加减求 X-Y,先求-Y补码:阶码部分不变,尾数调整为相反数补码,即连同符号位按位取反,末尾+1
[-Y]补:11100,11.000101000
X-Y=11100,10.110001000
机器数操作不理解,可以把真值操作写在旁边对比:
算出的结果符号位10,溢出了,需要右规
规格化X-Y:11100,10.110001000→11101,11.011000100
对应真值运算:
规格化之后,观察阶码阶符是否还保持正常情况(00或11),则此次运算不溢出,若规格化后,双符号位表现出溢出模式(10或 01),此次运算一定溢出!在加减处溢出不一定是溢出,只有在规格化以后还是溢出,才是真正溢出!
舍入这里无舍入,因为尾数右移时候,末尾丢的是一个0,不影响整个数值运算
判溢出此处正常阶码11,无溢出
所以结果真值为2-3×(-0.1001111)2
3.5.2 舍入
“0”舍“1”入法:类似于十进制数运算中的“四舍五入”法,即在尾数右移时,被移去的最高数值位为0,则舍去;被移去的最高数值位为1,则在尾数的末位加1。这样做可能会使尾数又溢出,此时需再做一次右规。恒置“1”法:尾数右移时,不论丢掉的最高数值位是“1”还是“0”,都使右移后的尾数末位恒置“1”。这种方法同样有使尾数变大和变小的两种可能。例:两浮点数加减后结果为11100,10.110001011。此时肯定需要右规
采用0舍1入:11100,10.110001011→11101,11.011000101 1(末尾1丢弃,需要+1)
→11101,11.011000110 (末尾+1后进位)
恒置1:11100,10.110001011→11101,11.011000101 1
→11101,11.011000101 1
3.6 浮点数强制类型转换
char →int→long →double
float →double
范围、精度从小到大,转换过程没有损失
32位
int:表示整数,范围-231-231-1,有效数字32位
float:表示整数及小数,范围 士[2-126 ~~ 2+127×(2-2-23)],有效数字23+1=24位
int→float:可能损失精度
float →int:可能溢出及损失精度
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