2 计算机组成原理第二章 数据的表示和运算 定点数运算 浮点数运算

文章目录

1 进制转换2 定点数表示及其运算2.1 定点数表示2.1.1 真值→补码2.1.2 补码→真值2.1.3 [XT]补 →[-XT]补2.1.4 真值、原码、反码、补码转换关系图形总结2.2.4 移码2.2 定点数运算2.2.1 移位运算2.2.2 定点数加减运算2.2.3 溢出判断判溢出方法一判溢出方法二判溢出方法三3 浮点数及其运算3.1 浮点数表示3.2 浮点数规格化3.3 规格化浮点数的特点3.4 IEEE754 标准3.5 浮点数加减3.5.1 浮点数的加减运算实例3.5.2 舍入3.6 浮点数强制类型转换

1 进制转换

任意进制→十进制

已知K、r、n

按权展开相加法

十进制→任意进制

除基取余法：

乘基取整法：

进制之间的转换

分组转换：

2n进制之间的转换：二进制、四进制、八进制、十六进制

二进制一>四进制、八进制、十六进制n位一组，每组转换成对应进制的符号，位数不够补左边最高位0和右边最低位0

四进制、八进制、十六进制一>二进制

每位写成对应的二进制形式

BCD码

用途：可以实现二进制，十进制的快速转换（一一对应）

8421码，4位一组的二进制表示十进制对应的符号

遇到8421码某组上的计算产生超过1001时，需进行加6（0110）进行结果修正

2 定点数表示及其运算

小数点位置约定在固定位置的数称为定点数

小数点位置约定为可浮动的数称为浮点数

2.1 定点数表示

定点数可分为无符号数和有符号数

无符号数：整个机器字长的全部二进制位均为数值位，没有符号位，相当于数的绝对值。无符号数表示范围：n位的无符号数表示范围为：0~2n-1

有符号数对应真值和机器数

真值和机器数

2.1.1 真值→补码

正数：[X]原=[X]反=[X]补 正数原反补一样负数：

求补码：原符号位不变，数值部分按位取反，末尾+1

求反码：符号位不变，数值位按位取反

2.1.2 补码→真值

按位取反+1

[XT]补 =1 0110100

[XT]= -（1001011+1）= -1001100

2.1.3 [XT]补 →[-XT]补

连同符号位各位取反，末尾+1

[XT]补=1 0110100

[-XT]补= 0 1001100

2.1.4 真值、原码、反码、补码转换关系图形总结

2.2.4 移码

浮点数阶码用移码表示，移码只用来表示定点整数

设E为阶码，阶码的移码表示位n位，[E]移=2n-1+E（2n-1为偏置常数）

2.2 定点数运算

2.2.1 移位运算

r进制

右移n位：÷ rn

左移n位： × rn

机器数采用无符号数：逻辑移位

逻辑左移时，高位移丢，低位添0；逻辑右移时，低位移丢，高位添0

机器码采用有符号数：算术移位

算术移位：左移相当于乘以基数，右移相当于除以基数

符号位不参与移位

1，0110101 真值-53左移1位（丢0）：1，110101 0真值-106右移1位（丢1）：1，0 011010真值-26 假设不丢1：1，0011010.1 真值-26.5再左移1位（丢1）：1，1010100 真值-84 假设不丢1：1，111010100 真值-212再右移1位（丢0）：1，0001101 真值-13

结论：原码算术移位：左移丢1，运算出错；右移丢1，影响精度。

正数：原码、补码、反码一样→左移、右移都补0

负数：反码1<——>原码0

2.2.2 定点数加减运算

补码的主要作用：两个有符号数可以直接相加

加减运算基本思路：

转换成x+y的形式计算[x]补+[y]补

例题：设机器字长为8位（含1位符号位），A=15，B=-24，求[A+B]补和[A-B]补

走捷径：十进制运输完毕将结果转换为补码

也可以先转化为补码，再将补码进行符号扩展

[A+B]补=[A]补+[B]补=0，0001111+1，1101000=1，1110111

补码1，1110111，对应原码：1，0001001 真值就是-9，15+（-24）=-9

[A-B]补=[4]补+[-B]补=0，0001111+0，0011000=0，0100111

补码0，0100111对应真值+39,15-（-24）=+39

[-B]补：[B]补连同符号位一起取反加1

2.2.3 溢出判断

正溢出：两个正数做加法得负数

负溢出：两个负数做加法得正数

例：A=15，B=-34，C=124，求[A+C]补和[B-C]补

[A+C]补=00001111+01111100=110001011 真值-11→正溢出

[B-C]补=1101000+0000100=101101100 真值+108→负溢出

判溢出方法一

采用一位符号位设A的符号为As，B的符号为Bs，运算结果的符号为Ss，则溢出逻辑表达式为

V表示含义：[As为1且Bs为1且Ss为0] 或 [As为0且Bs为0且Ss为1]

若V=0，表示无溢出；

若V=1，表示有溢出。

补充逻辑表达式：

与：如ABC，表示A与B与C仅当A、B、C均为1时，ABC为1

A、B、C中有一个或多个为0，则ABC为0或：如A+B+C，表示A或B或C仅当A、B、C均为0时，A+B+C为0

A、B、C中有一个或多个为1，则A+B+C为1

判溢出方法二

采用一位符号位，根据数据位进位情况判断溢出

即：Cs与C1不同时有溢出

处理“不同”的逻辑符号：异或

溢出逻辑判断表达式为：

若V=0，表示无溢出；

V=1，表示有溢出。

补充异或：

判溢出方法三

采用双符号位，配合补码

正数符号为00，负数符号为11

[A+C]补=00，0001111+00，1111100=01，0001011→正溢出

[B-C]补=11，1101000+11，0000100=10，1101100→负溢出

记两个符号位为Ss1Ss2，则

若V=0，表示无溢出；

若V=1，表示有溢出。

利用双符号位计算[A+B]补和[A-B]补

[A+B]补=00，0001111+11，1101000=11，1110111

[A-B]补=00，0001111+00，0011000=00，0100111

采用双符号位的移位运算：低位符号位参与移位，高位符号位代表真正的符号

11，1110111 右移1位： 11，1111011 //低位符号位参与右移，对于负数补码，符号位空出的部分补100，0100111 左移1位： 00，1001110 //左移一位，数值位最高位0移到符号位低位，数值位低位空出的部分则补000，0100111 左移2位： 01，0011100 正溢出

3 浮点数及其运算

3.1 浮点数表示

任意一个二进制数X可以表示为： X=（-1）S× M × RE

S取值为0或1，用来决定X的符号

M是一个二进制定点小数，称为数X的尾数

E是一个二进制定点整数，称为X的阶码或指数

R是基数，可以取值为 2、4、16

阶码：常用补码或移码表示

尾数：常用原码或补码表示

阶码E反映浮点数的表示范围及小数点的实际位置；尾数M的数值部分的位数n反映浮点数的精度。

例：阶码、尾数均用补码表示，求b的真值

如果尾数部分只存储1001，怎么处理？----→规格化

3.2 浮点数规格化

规格化：规定尾数的最高数位必须是一个有效值。对于二进制来说最高位数1有效，对于其他进制，不是0则有效

左规：当浮点数运算的结果为非规格化时要进行规格化处理，将尾数左移一位，阶码减1（基数为2时）。

右规：当浮点数运算的结果尾数出现溢出（双符号位为01或10）时，将尾数右移一位，阶码加1（基数为2时）。

例：a=010；00.1001，b=010；00.1000，求a+b

a=22 × 00.1001； b=22 × 00.1000

a+b=22 × 00.1001+22 × 00.1000

=22 ×（00.1001+00.1000）

=22 × 01.0100 →尾数溢出，右规

=23 × 00.1010

3.3 规格化浮点数的特点

规格化浮点数的尾数M的绝对值应满足：1/r<|M|<1

如果r=2，则有1/2<M<1

原码规格化后：

正数为0.1××…×的形式，其最大值表示为0.11…1；最小值表示为0.10…0。

尾数的表示范围为 1/2≤M≤（1-2-n）。负数为1.1××.…×的形式，其最大值表示为1.10…0；最小值表示为1.11…1。

尾数的表示范围为 -（1-2-n）≤M≤ -1/2。

补码规格化后：

正数为0.1××…×的形式，其最大值表示为0.11…1；最小值表示为0.10…0。

尾数的表示范围为 1/2≤M≤（1-2-n）。负数为1.0××.…×的形式，其最大值表示为1.01…1；最小值表示为1.00…0。

尾数的表示范围为 -1≤M≤ -（1/2+2-n）。

3.4 IEEE754 标准

尾数规格化，最高位肯定为1，若尾数原码xx...x，则尾数是1.xx...x

阶码部分用移码表示的，由移码得真值要减去偏置值

短浮点数：

长浮点数：

IEEE754 标准下短浮点数和长浮点数的真值：

IEEE 754 标准一些规定（短浮点数为例）：

E=0且M=0，则真值为0E=0且M≠0，为非规格化数，真值 =（-1）s×0.M×2-1261≤E≤254时，真值 =（-1)s×1.M×2E-127E=255且M≠0时（阶码全1，尾数不为0），真值为NaN（非数值）E=255且M=0时，真值为正无穷或负无穷（看符号位）

IEEE 754浮点数表示范围

3.5 浮点数加减

浮点数加减运算步骤：

对阶

一般在对阶之前就有必须要把真值转化为机器数的步骤（即用补码表示阶码和尾数）

尾数加减规格化舍入判溢出

3.5.1 浮点数的加减运算实例

例：已知十进制数X=-5/256、Y=+59/1024，按机器补码浮点运算规则计算X-Y，结果用二进制表示，浮点数格式如下：阶符取2位，阶码取3位，数符取2位，尾数取9位

先进行格式转换：用补码表示阶码和尾数

将X的阶码转化为机器数：-101 补码：1 011，再变为双符号位（阶符取两位）： 11 011（11 代表负，00代表正），数值部分（阶码）3位不需要扩展将X的尾数转化为机器数：-0.101 补码：1.011 ，再变为双符号位（数符取两位）：11.011，尾数取9位则扩展到9位：11.011000000（小数低位添0，整数高位添0）

转化完毕X，Y机器数表示：X:11 011,11.011000000 ；Y:11 100,00.111011000

转化完接下来就是对阶

对阶

对阶目的：使两个数的阶码相等，小阶向大阶看齐，尾数每右移一位，阶码加1

①求阶差：[△E]补=[X阶]补+[-Y阶]补=11011+00100=11111，知△E=-1（被减的数转化为相反数的补码形式，即[Y]补→[-Y]补→连同符号位按位取反，末尾+1）

②对阶X 向Y看齐：X：11011，11.011000000→11100，11.101100000（X尾数右移1位，阶码+1）

尾数左移/右移：双符号位也要参与移位

接下来进行尾数加减，原理就是提取公因式

尾数加减

求 X-Y，先求-Y补码：阶码部分不变，尾数调整为相反数补码，即连同符号位按位取反，末尾+1

[-Y]补:11100,11.000101000

X-Y=11100,10.110001000

机器数操作不理解，可以把真值操作写在旁边对比：

算出的结果符号位10，溢出了，需要右规

规格化

X-Y：11100,10.110001000→11101,11.011000100

对应真值运算：

规格化之后，观察阶码阶符是否还保持正常情况（00或11），则此次运算不溢出，若规格化后，双符号位表现出溢出模式（10或 01），此次运算一定溢出！在加减处溢出不一定是溢出，只有在规格化以后还是溢出，才是真正溢出！

舍入

这里无舍入，因为尾数右移时候，末尾丢的是一个0，不影响整个数值运算

判溢出

此处正常阶码11，无溢出

所以结果真值为2-3×（-0.1001111）2

3.5.2 舍入

“0”舍“1”入法：类似于十进制数运算中的“四舍五入”法，即在尾数右移时，被移去的最高数值位为0，则舍去；被移去的最高数值位为1，则在尾数的末位加1。这样做可能会使尾数又溢出，此时需再做一次右规。恒置“1”法：尾数右移时，不论丢掉的最高数值位是“1”还是“0”，都使右移后的尾数末位恒置“1”。这种方法同样有使尾数变大和变小的两种可能。

例：两浮点数加减后结果为11100，10.110001011。此时肯定需要右规

采用0舍1入：11100，10.110001011→11101，11.011000101 1（末尾1丢弃，需要+1）

→11101，11.011000110 （末尾+1后进位）

恒置1：11100，10.110001011→11101，11.011000101 1

→11101，11.011000101 1

3.6 浮点数强制类型转换

char →int→long →double

float →double

范围、精度从小到大，转换过程没有损失

32位

int：表示整数，范围-231-231-1，有效数字32位

float：表示整数及小数，范围 士[2-126 ~~ 2+127×（2-2-23）]，有效数字23+1=24位

int→float：可能损失精度

float →int：可能溢出及损失精度

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