简介：

与SVM一样，决策树也是一种多功能的机器学习算法，它可以实现分类和回归任务，甚至是多输出任务。它们功能强大，能够拟合复杂的数据集。决策树同时也是随机森林（参见第7章）的基本组成部分，后者是现今最强大的机器学习算法之一。

首先，我们会讨论如何对决策树进行训练、可视化和预测；然后介绍Scikit-Learn的CART训练算法，讨论如何对决策树进

行正则化并将其用于回归任务；最后，我们会谈一谈决策树的局限性。

一个决策树实例：

1、构建一个决策树

看看它是如何做出预测的。下面的代码在鸢尾花数据集上训练了一个DecisionTreeClassifier：

(Scikit-Learn使用的是CART算法，该算法仅生成二叉树：非叶节点永远只有两个子节点（即问题答案仅有是或否）。但是，其他

算法，比如ID3生成的决策树，其节点可以拥有两个以上的子节点)

from sklearn.datasets import load_irisfrom sklearn.tree import DecisionTreeClassifieriris=load_iris()X=iris.data[:,2:]y=iris.targettree_clf=DecisionTreeClassifier(max_depth=2,random_state=42)tree_clf.fit(X,y)

输出一个树结构：

DecisionTreeClassifier(class_weight=None, criterion='gini', max_depth=2,max_features=None, max_leaf_nodes=None,min_impurity_decrease=0.0, min_impurity_split=None,min_samples_leaf=1, min_samples_split=2,min_weight_fraction_leaf=0.0, presort=False, random_state=42,splitter='best')

tree.DecisionTreeClassifier(class_weight=None, #balanced & None 可选criterion='gini',#"gini"或者"entropy"，前者代表基尼系数，后者代表信息增益。max_depth=None,#max_depth控制树的深度防止overfittingmax_features=None, #可使用多种类型值，默认是"None",划分时考虑所有的特征数；#"log2" 划分时最多考虑log2Nlog2N个特征；#"sqrt"或者"auto" 划分时最多考虑√N个特征。#整数，代表考虑的特征绝对数。#浮点数，代表考虑特征百分比，即考虑（百分比xN）取整后的特征数。#其中N为样本总特征数。max_leaf_nodes=None,#最大叶节点树min_impurity_split=1e-07, #限制决策树的增长，#如果某节点的不纯度(基尼系数，信息增益)小于这个阈值，则该节点不再生成子节点，即为叶子节点。 min_samples_leaf=1,min_samples_split=2,#min_samples_split或min_samples_leaf来控制叶节点上的样本数量；#两者之间的主要区别在于min_samples_leaf保证了叶片中最小的样本数量，而min_samples_split可以创建任意的小叶子。但min_samples_split在文献中更常见。min_weight_fraction_leaf=0.0,#限制叶子节点所有样本权重和的最小值。如果小于这个值，则会和兄弟节点一起被剪枝。# 默认是0，就是不考虑权重问题。#一般来说，如果我们有较多样本有缺失值，或者分类树样本的分布类别偏差很大，#就会引入样本权重，这时我们就要注意这个值了。presort=False,#布尔值，默认是False不排序。预排序，提高效率。#设置为true可以让划分点选择更加快，决策树建立的更加快。random_state=None, #随机生成器种子设置，默认设置为None，如此，则每次模型结果都会有所不同。splitter='best')#split"best"或者"random"。#前者在特征的所有划分点中找出最优的划分点。#后者是随机的在部分划分点中找局部最优的划分点。#默认的"best"适合样本量不大的时候，而如果样本数据量非常大，此时决策树构建推荐"random"。

参数详情：/qq_30815237/article/details/89218316

参数说明：

samples属性：统计它应用的训练实例数量。例如，有100个训练实例的花瓣长度大于2.45厘米（深度1，右），其中54个花瓣宽度小于1.75厘米（深度2，左）。

value属性：说明了该节点上每个类别的训练实例数量：例如，右下节点应用在0个Setosa鸢尾、1个Versicolor鸢尾和45个Virginica鸢尾实例上。

class属性：说明该节点的类别。

节点的gini属性：衡量其不纯度（impurity）：如果应用的所有训练实例都属于同一个类别，那么节点就是“纯”的（gini=0）。例如，深度1左侧节点仅应用于Setosa鸢尾花训练实例，所以它就是纯的，并且gini值为0。

基尼不纯度：

其中：是第i个节点上，类别为k的训练实例占比。

例如，深度2左侧节点，基尼系数等于 1–（0/54）^2 –（49/54）^2 –（5/54）^2 ≈0.168。

决策树的特质之一就是它们需要的数据准备工作非常少。完全不需要进行特征缩放或集中。

如何做出预测？

以上图中的树为例，如果你找到了一朵鸢尾花，想要将其归类，那么从根节点（深度0，位于顶部）开始：这朵花的花瓣长度是否小于2.45厘米？如果是，则向下移动到根的左侧子节点（深度1，左）。本例中，这是一个叶节点（即没有任何子节点），所以它不再继续提出问题，你可以直接查看这个节点的预测类别，也就是说，决策树预测你的这朵花是Setosa鸢尾花（class=setosa）。

假设你又找到了一朵花，但是这次的花瓣长度大于2.45厘米。你必须移动到根节点的右侧子节点（深度1，右），该节点不是叶节点，所以它提出另一个问题：花瓣宽度是否小于1.75厘米？如果是，那这朵花最有可能是Versicolor鸢尾花（深度2，左）；如果不是，那就可能是Virginica鸢尾花（深度2，右）。就是这么简单。

2、训练完成后，使用决策树对测试集数据进行分类：

决策树除了可以输出实例所属的类别k外，同样可以估算某个实例属于特定类别k的概率：首先，跟随决策树找到该实例的叶节点，然后返回该节点中类别k的训练实例占比。

例如，假设你发现一朵花，其花瓣长5厘米，宽1.5厘米。相应的叶节点为深度2左侧节点，因此决策树输出如下概率：Setosa鸢尾花，0%（0/54）；Versicolor鸢尾花，90.7%（49/54）；Virginica鸢尾花，9.3%（5/54）。当然，如果你要求它预测类别，那么它应该输出Versicolor鸢尾花（类别1），因为它的概率最高。

tree_clf.predict_proba([[5, 1.5]])out:array([[0. , 0.90740741, 0.09259259]])tree_clf.predict([[5, 1.5]])out:array([1])

下图显示了决策树的决策边界。加粗直线表示根节点（深度0）的决策边界：花瓣长度=2.45厘米。因为左侧区域是纯的（只有Setosa鸢尾花），所以它不可再分。但是右侧区域是不纯的，所以深度1右侧的节点在花瓣宽度=1.75厘米处（虚线所示）再次分裂。因为这里最大深度max_depth设置为2，所以决策树在此停止。但是如果你将max_depth设置为3，那么两个深度为2的节点将各自再产生一条决策边界（点线所示）。

说明：决策树是非常直观的，它们的决策也很容易解释，这类模型通常被称为白盒模型。与之相反的，我们稍后将会看到，随机

森林或是神经网络被认为是一种黑盒模型。它们能做出很棒的预测，你也可以轻松检查它们在做出预测时执行的计算，然而，通常很难解释清楚它们为什么做出这样的预测。

CART训练算法

1、成本函数

Scikit-Learn使用的是分类与回归树（Classification And Regression Tree，简称CART）算法来训练决策树。

首先，使用单个特征k和阈值（例如，花瓣长度≤2.45厘米）将训练集分成两个子集。k和阈值怎么选择？答案是产生出最纯子集（受其大小加权）的k和就是经算法搜索确定的（t，）。算法尝试最小化的成本函数为:

其中：是第i个节点上，类别为k的训练实例占比。

一旦成功将训练集一分为二，它将使用相同的逻辑，继续分裂子集，然后是子集的子集，依次循环递进。直到抵达最大深度（由max_depth控制），或是再也找不到能够降低不纯度的分裂，它才会停止。还有一些超参数可以用来控制附加的停止条件（min_samples_split、min_samples_leaf、min_weight_fraction_leaf及max_leaf_nodes）。

CART是一种贪婪算法：从顶层开始搜索最优分裂，然后每层重复这个过程。几层分裂之后，它并不会检视这个分裂

的不纯度是否为可能的最低值。贪婪算法通常会产生一个相当不错的解，但是不能保证是最优解。

而寻找最优树是一个已知的NP完全问题：需要的时间是O（exp（m）），所以即使是很小的训练集，也相当棘手。

2、计算复杂度

进行预测需要从根到叶遍历决策树。通常来说，决策树大致平衡，因此遍历决策树需要经历大约个节点。而每个节点只需要检查一个特征值，所以总体预测复杂度也只是，与特征数量无关。如此，即便是处理大型数据集，预测也很快。

但是，训练时在每一个节点，算法都需要在所有样本上比较所有特征（如果设置了max_features会少一些）。这导致训练的复杂度为。对于小型训练集（几千个实例以内），Scikit-Learn可以通过对数据预处理（设置presort=True）来加快训练，但是对于较大训练集而言，可能会减慢训练的速度。

3、基尼不纯度和信息熵

默认使用的是基尼不纯度来进行测量，但是，你可以将超参数criterion设置为"entropy"来选择信息熵作为不纯度的测量方式。熵是一种分子混乱程度的度量：如果分子保持静止和良序，则熵接近于零。在机器学习中，它也经常被用作一种不纯度的测量方式：如果数据集中仅包含一个类别的实例，其熵为零。下式显示了第i个节点的熵值的计算方式。

例如，上图中深度2左侧节点的熵值：

大多数情况下，二者并没有什么大的不同，产生的树都很相似。基尼不纯度的计算速度略微快一些，所以它是个不错的默认选择。它们的不同在于，基尼不纯度倾向于从树枝中分裂出最常见的类别，而信息熵则倾向于生产更平衡的树。

正则化超参数

决策树极少对训练数据做出假设（线性模型假设数据是线性）。如果不加以限制，树的结构将跟随训练集变化，严密拟合，并且很可能过度拟合。这种模型通常被称为非参数模型。相应的参数模型，比如线性模型，则有预先设定好的一部分参数，因此其自由度受限，从而降低了过度拟合的风险（但是增加了拟合不足的风险）。

为避免过度拟合，需要在训练过程中降低决策树的自由度。这个过程被称为正则化。正则化超参数的选择取决于你所使用的模型，但是通常来说，至少可以限制决策树的最大深度，由超参数max_depth控制（默认值为None，意味着无限制）。减小max_depth可使模型正则化，从而降低过度拟合的风险。

DecisionTreeClassifier类还有一些其他的参数，同样可以限制决策树的形状：min_samples_split（分裂前节点必须有的最小样本数），min_samples_leaf（叶节点必须有的最小样本数量），min_weight_fraction_leaf（跟min_samples_leaf一样，但表现为加权实例总数的占比），max_leaf_nodes（最大叶节点数量），以及max_features（分裂每个节点评估的最大特征数量）。增大超参数min_*或是减小max_*将使模型正则化。

还可以先不加约束地训练模型，然后再对不必要的节点进行剪枝（删除）。如果一个节点的子节点全部为叶节点，则该节点可被认为不必要。

下图显示了在卫星数据集（见第5章介绍）上训练的两个决策树。左图使用默认参数（即无约束）来训练决策树，右图的决策树应用min_samples_leaf=4进行训练。很明显，左图模型过度拟合，右图的泛化效果更佳。

决策树的限制

1、对训练集的旋转非常敏感

决策树很容易理解和解释，使用简单，功能全面并且十分强大。但是，它们确实也有一些限制。首先，你可能已经注意到，决策树的决策边界都与轴线垂直，这导致它们对训练集的旋转非常敏感。例如，下图显示了一个简单的线性可分离数据集：左图里，决策树可以很轻松分裂；而到了右边，数据集旋转45°后，决策边界产生了不必要的卷曲。虽然两个模型都看似完美拟合训练集，但是右侧模型很可能泛化不佳。解决这种问题的方法之一是使用PCA让训练数据定位在一个更好的方向上。

2、对野值点敏感

决策树的主要问题是它们对训练数据中的小变化非常敏感。我们以上面的决策树为例，如果你从鸢尾花数据集中移除花瓣最宽的Versicolor鸢尾花（花瓣长4.8厘米，宽1.8厘米），然后重新训练一个决策树，你可能得到下图所示的模型。这跟之前的决策树看起来截然不同。事实上，由于Scikit-Learn所使用的算法是随机的，即使是在相同的训练数据上，你也可能得到完全不同的模型（除非你对超参数random_state进行设置）。

#X有两列，下式查找一个样本点：属于y=1类；在该类中找到最大的Petal Width对应的样本点X[(X[:, 1]==X[:, 1][y==1].max()) & (y==1)] # widest Iris-Versicolor flowerout：array([[4.8, 1.8]])# 删除了一个野点，再进行训练not_widest_versicolor = (X[:, 1]!=1.8) | (y==2)X_tweaked = X[not_widest_versicolor]y_tweaked = y[not_widest_versicolor]tree_clf_tweaked = DecisionTreeClassifier(max_depth=2, random_state=40)tree_clf_tweaked.fit(X_tweaked, y_tweaked)

回归

决策树也可以执行回归任务。用DecisionTreeRegressor来构建一个回归树，在一个带噪声的二次数据集上进行训练

结果树如图所示

跟之前建立的分类树很相似。主要差别在于，每个节点上不再是预测一个类别而是预测一个值。这个预测值其实就是与这个叶节点关联的110个实例的平均目标值例如，如果你想要对一个x1 =0.6的新实例进行预测，那么从根节点开始遍历，最后到达预测value=0.1106的叶节点。在这110个实例上，预测产生的均方误差（MSE）等于0.0151。

下图左侧显示了该模型的预测，其中max_depth=2。如果设置max_depth=3，将得到如右图所示的预测。注意看，每个区域的预测值永远等于该区域内实例的目标平均值。算法分裂每个区域的方法，就是使最多的训练实例尽可能接近这个预测值。

与分类任务一样，决策树在处理回归任务时也很容易过度拟合。如果没有任何正则化（即使用默认超参数），你将得到如图左侧所示的预测结果，这显然对训练集严重过度拟合。只需要设置min_samples_leaf=10，就能得到一个看起来合理得多的模型，如右图所示。

回归算法成本函数

CART算法的工作原理跟前面介绍的大致相同，唯一不同在于，它分裂训练集的方式不是最小化不纯度，而是最小化MSE。下式显示了算法尝试最小化的成本函数。

其中：

GitHub源码：/liuzheCSDN/Scikit-Learn/blob/master/6_DecisionTree.ipynb

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