泰勒公式与泰勒展开

泰勒公式可以将难以理解的函数转变成易于处理的多项式。

泰勒公式是用多项式函数去逼近光滑函数（无穷次可微函数）的方法之一。

1. 常见泰勒展开

一定要注意泰勒展开的条件；

n阶可微函数 f(x) 在 x=a 处的展开为：

f(x)=f(a)0!+f′(a)1!(x−a)+f′′(a)2!(x−a)2+⋯一般常取的在 x=0 处的展开（也称作麦克劳林的展开）将一个函数展开，当然最终仍是函数的形式f(x) n 阶可微，则其k阶导的展开形式为：fk(a)k!(x−a)k，系数部分（fk(a)k!）是确定的数值，(x−a)k 是含有 x 的项

注意泰勒展开的条件。比如(1+z)α进行泰勒展开，要求|z|<1。 (1+z)α=1+αz+α(α−1)2!z2+α(α−1)(α−2)3!z3+⋯+α(α−1)⋯(α−n+1)n!zn+⋯,|z|<1

⇒

1(1+z)2=(1+z)−2=1−2z+3z2−4z3+⋯

⇒

1(1+1)2=1−2+3−4+5−6+⋯11−x=(1−x)−1=∑n=0∞xnfor|x|<1

2. 泰勒展开的应用

2.1 做近似计算

估计立方根：

6513=(1+64)13

注意泰勒展开 (1+z)α 的条件要求 |z|<1，所以此时，

6513=(1+64)13=4(1+164)13≈4(1+13⋅164)=4.0208...

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