这节介绍常用分布。分常用离散分布和常用连续分布两类。
常用离散分布
二项分布(Binomial Distribution)
记
为 重伯努利试验中成功的事件(记为 )的次数,则 服从二项分布。记 为事件 发生的概率, 的分布列为:
记
符号“~”读作“服从于”,该记号表示随机变量
服从参数为 的二项分布。
容易想到,二项概率恰好是二项式
的展开式的第 项,这也是“二项分布”的名称的由来。
应用举例:
设射手命中率为 ,则射击 次,命中的次数 .已知人群中色盲率为 ,在人群中随机调查50个人,则其中色盲患者 .某药品的有效率为 ,今有 人服用,则服药有效的人数 .……
数学期望:方差:
两点分布(Bernoulli Distribution)
是一种当
时的特殊的二项分布,又名0-1分布,伯努利分布,用来描述一次伯努利试验中成功的次数 。 服从两点分布,分布列为:
或表示为:
其中
为事件成功的概率。
应用举例:
小明投篮命中率为 ,投篮一次,其命中的次数 彩票中奖率为 ,小明购买一张彩票,其中奖的次数 不会做的单项选择题做对的概率为 ,随机选择一个选项,做对的次数 ……
两点分布是特殊的二项分布,在二项分布数学期望和方差的公式中取
得到两点分布:
数学期望:方差:
二项分布与两点分布的关系:若有一列独立同分布于
的随机变量序列 ,则其和:
这个结论表明两点分布具有可加性,且对于服从
的随机变量 ,可看做由 个独立同分布于 的随机变量 的和。
上述“独立同分布”、“可加性”的概念,见:coffee:多维随机变量函数的分布
泊松分布(Poisson Distribution)
分布列:
记
。常与单位时间、单位面积、单位体积上的计数过程相联系。
应用举例:
某时间段内,来到某商场的顾客数单位时间内,某网站的点击量一平方米内玻璃上的气泡数……
数学期望:方差:
这里数学期望为
是指 的均值为 。譬如对于应用举例1.,某段时间内,来到某商场的顾客数平均而言是 。其他的应用类似。
超几何分布(Hypergeometric Distibution)
设有
件产品,其中有 件不合格品。若从中不放回地随机抽取 件,则其中含有的不合格品的件数 服从超几何分布,分布列为:
记为
.其中 ,且 均为正整数。
应用举例:从有10件不合格品的100件产品中随机抽取5件,则抽取的产品中不合格品数
。
数学期望:方差:
几何分布(Geometric Distribution)
在伯努利试验序列中,记每次试验中事件
发生的概率为 ,如果 为事件 首次出现时的试验次数,则 。 服从几何分布,分布列为:
记作
。
应用举例:
某产品的不合格率为 ,首次查到不合格品的检查次数 某射手的命中率为 ,首次命中的射击次数 掷一颗骰子,首次出现六点的投掷次数 ……
数学期望:方差:
几何分布的无记忆性:
设
,对任意正整数 ,有:
该性质表明,在前
次试验中 没有出现的条件下,则在接下去的 次试验中 仍未出现的概率只与 有关,而与以前的 次试验无关,似乎忘记了前 次试验结果,这就是无记忆性。
负二项分布(Negative Binomial Distribution)
在伯努利试验序列中,记每次试验中事件
发生的概率为 ,如果 为事件 第 次出现时的试验次数,则 的可能取值为 ,称X服从负二项分布或巴斯卡分布,其分布列为:
记作:
,当 时即为几何分布,即几何分布是特殊的负二项分布。从二项分布和负二项分布的定义中看出,二项分布是伯努利试验次数 固定,事件 成功的次数 在 中取值;而负二项分布是事件 成功的次数 固定,伯努利实验次数 在 中取值,可见负二项分布的“负”字的由来。
应用举例:
某产品的不合格率为 ,产品总数大于5,查到第5件不合格品时,检查次数 某射手的命中率为 ,第十次命中的射击次数 掷一颗骰子,第三次出现六点时,投掷次数 ……
数学期望:方差:
从负二项分布和几何分布的数学期望和方差的关系可知,类比二项分布与两点分布的关系,可以得到下面的结论:
若有一列独立同分布于
的随机变量序列 ,则其和:
这并不是说明几何分布具有可加性,因为可加性要求服从该类分布的随机变量的和仍服从该类分布,但是服从几何分布的随机变量的和服从负二项分布,这个概念要特别注意。上述结论只能说明对于服从
的随机变量 ,可看做由 个独立同分布于 的随机变量 的和。
常用连续分布
正态分布
若随机变量
的密度函数为:
则称
服从正态分布,称 为正态变量。记 。其中 为位置参数,用于控制曲线在 轴上的位置; 为尺度参数,用于控制曲线的形状。
分布函数:
数学期望:方差:
称
时的正态分布为标准正态分布,其密度函数和分布函数分别为:
任何一个正态变量均可以通过标准化转化为标准正态变量,即若
,则:
其中
为标准正态变量。
下面不加证明地给出一些常用性质:
若
:
若
:
其他的类似。
正态分布常用的
原则:
均匀分布
若随机变量
的密度函数为:
称
服从区间 上的均匀分布,记作 ,其分布函数:
均匀分布又称作平顶分布(因其概率密度为常值函数)。
数学期望:方差:
指数分布
若随机变量
的密度函数为:
则称
服从参数为 的指数分布,记作 。指数分布的分布函数为:
指数分布是一种偏态分布,指数分布随机变量只可能取非负实数。指数分布常被用作各种“寿命”分布,譬如电子元器件的寿命、动物的寿命、电话的通话时间、随机服务系统中的服务时间等都可假定服从指数分布。指数分布在可靠性与排队论中有着广泛的应用.。
数学期望:方差:
指数分布的无记忆性
若随机变量
,则对任意的 ,有:
证明:
因为
,所以 。又因为
由条件概率可得:
证毕。
该式的含义为:记
是某种产品的使用寿命 ,若 服从指数分布,那么已知此产品使用了 没发生故障,则再能使用 而不发生故障的概率与已使用的 无关,只相当于重新开始使用 的概率,即对已使用过的 没有记忆。
伽玛分布
先引入伽玛函数:
其中参数
。伽玛函数具有下列性质:
当
为自然数 时:
伽玛分布:
若随机变量
的密度函数为:
称X
服从伽玛分布,记作 。其中 为形状参数, 为尺度参数。
数学期望:方差:
伽玛函数的特例:
时的伽玛分布为指数分布:
2.称
的伽玛分布为自由度为 的 (卡方)分布,记作 :
因卡方分布是特殊的伽玛分布,故不难求得卡方分布的:
数学期望:方差:
卡方分布的唯一参数
称为它的自由度,具体含义在之后的数理统计中会给出。
贝塔分布
先给出贝塔函数:
其中参数
。贝塔函数具有以下性质:
1.
2.贝塔函数与伽玛函数有如下关系:
贝塔分布:
若随机变量
的密度函数为:
则称
服从贝塔分布,记作 ,其中 都是形状参数。
数学期望:方差:
总结
如果觉得《matlab泊松分布随机数和图像_常用分布》对你有帮助,请点赞、收藏,并留下你的观点哦!