在公务员考试中，好多考生都会反映行测数量关系超级难，但是即使特别难的数量关系依旧有可以套固定模型的题目，牛吃草就是其中一个，牛吃草模型只要考，就绝对玩不出新花样，模型固定性很强，所以学好牛吃草问题就算的上是给我们的数量关系上了一道保险!今天中公教育辅导专家就给大家带来关于牛吃草问题的讲解。
什么是牛吃草问题?
牛吃草问题又可以称的上是消长问题。
牛吃草问题转化为追及模型来求解
说有一片草场，总共有草量M，有N头牛来吃，且草每天以均匀的速度生长，这些牛一共花了t天把草吃完了。
现在我让你们给这个实际问题建立数学模型，怎么建立?
我们一起来看这个问题，首先我们来简单的画出来这个图形：
当然这是个二维图形，你看不出来有什么规律，现在我们把这个模型转化为一维图形，再来看看：
我们把草量化为AB段，即AB段等于M，草在匀速地生长，在一维中就是使AB段变长，我们假设草在B点开始生长，长到C点后牛把草吃完了，牛把草怎么吃才能算吃完呢?就是牛先从A点开始吃先把AB段吃完后再吃BC段，过程如图所示，那么大家看这个模型是不是特别眼熟，这个模型不就是追及问题的模型么。
所以到这里就清楚了，牛吃草问题可以转化为我们行程问题里面的追及问题来描述，即牛和草以一定的速度同向跑，终于过了t时间，牛把草追上了，模型就是上面那个模型，但大家一定要理解AB,BC代表着什么实际意义。
同理我们来推导牛吃草问题转化为追及问题的公式。我们知道追及问题的公式是
，那么AB段对应的是草量M，甲对应的是牛，乙对应的是草，所以这个公式就可以变成
,其中，我们可以设草每天的生长速度是x份/天，每头牛每天吃草的速度是1份/天，那么上个公式可以转化为：
，这个公式就是牛吃草问题转化为追及问题的公式，其中需要注意的是用牛的头数把牛的速度替换掉了。
题型特征：
1.有一个初始的量，该量受两个初始量的影响;
2.存在排比句式
二、解题方法：
M=(N-x)t
(M为原有草场量，N为牛的头数，x为草长的速度，t为时间)
三、常见考法：
1、标准型：同一草场供不同牛数吃不同的天数，利用(N1-x)t1=(N2-x)t2=(N3-x)t3;
2、极值型：要草永远吃不完，最多能放多少头牛吃，N≤x;
接下来用基础知识解两道常规题目和一道变形题目。
例1.在春运高峰时，某客运中心售票大厅站满等待买票的旅客，为保证售票大厅的旅客安全，大厅入口处旅客排队以等速度进入大厅按次序等待买票，买好票的旅客及时离开大厅。按照这种安排，如果开出10个售票窗口，5小时可使大厅内所有旅客买到票;如果开12个售票窗口，3小时可使大厅内所有旅客买到票，假设每个窗口售票速度相同。由于售票大厅入口处旅客速度增加到原速度的1.5倍，在2小时内使大厅中所有旅客买到票，按这样的安排至少应开售票窗口数为( )
A.15 B.16 C.18 D.19
【答案】C.
中公解析：设原有排队旅客人数为M，每小时新增加旅客人数为x，则有
M=(10-x)×5=(12-x)×3=(N-1.5x)×2
解得，x=7，N=18
在公务员行测考试中，牛吃草问题经常会考到，而牛吃草实质上是行程当中的相遇和追及问题。接下来，中公教育专家带大家通过几个例题学习一下牛吃草问题常见的几种模型。
例1.一个牧场长满青草，青草每天均匀生长，若放养27头牛，6天把草吃完;若放23头牛，9天把草吃完。若放21头牛，几天把草吃完?( )
A.9 B.10 C.12 D.15
【答案】C。
【中公解析】题目中有一个固定值，即草场原有的草量;有两个因素在影响固定值的变化，一个是草每天均匀生长使草量增多，另一个是牛每天吃草使草量减少。这样的题目我们可以转化为追及问题来理解，如图所示，原有草量即为追及路程，草生长和牛吃草对应的是两个速度。
设草场原有草量为M;每头牛每天吃1份草;草每天新长出x份草。则根据追击问题中“路程差=速度差×追及时间”可得：原有草量=(牛吃草的速度-草生长的速度)×吃完草用的时间。假设放21头牛，t天可以吃完，根据题目中给出的数据，可得出：M=6(27-x)=9(23-x)=t(21-x)。解方程时，根据M为定值，速度差和时间成反比：
，化为最简形式后，等式左边分子分母差4，右边差1，左边分子分母为右边的4倍，可得23-x=8，则21-x=6,代入原式得9×8=t×6，t=12。
【中公点拨】牛吃草问题具有以下3个特征：1、题干中出现排比句;2、存在一个固定值，即草场原有的草量;3、有两个因素影响固定值的变化。在本题中，草每天均匀生长使草量增多，牛吃草使草量减少，可以转化为追及问题。根据追及问题的公式列连等式，再运用正反比直接求解即可。
在公职类考试中，行程问题一直是考生谈之色变的一种题型。在具体考试中有很多题目也看似比较麻烦，但其实掌握该类题目的题型特征和做题方法就会有云开雾散的感觉。
一、题型特征
二、解题方法
牛吃草问题转化为相遇或追及模型来考虑。
三、常见考法
(一)标准牛吃草问题
同一草场问题是在同一个草场上的不同牛数的几种不同吃法，其中草的总量、每头牛每天吃草量“1”和草每天的生长数量，三个量是不变的。这种题型相对较为简单，直接套用牛吃草问题公式即可进行解答。
1.追及：一个量使原有草量变大，一个量使原有草量变小
原有草量=(牛吃草的速度-草生长的速度)×时间
例1.一片草场上草每天都均匀地生长，如果放24头牛，则6天吃完牧草;如果放21头牛，则 8天吃完牧草。问如果放16头牛，几天可以吃完牧草?
A.12 B.14 C.16 D.18
【答案】D。
【中公解析】题干描述中出现排比句且牛在吃草，草在匀速生长，所以是牛吃草问题中的追及问题，原有草量=(牛吃草的速度-草生长的速度)×时间，设每头牛每天吃1份草，草每天生长x份，16头牛t天可以吃完，根据原有草量相同，则有(24-x)×6=(21-x)×8=(16-x)×t，解得 x=12，t=18，即16头牛18天可以吃完牧草。故选D。
(二)变型：极值型牛吃草问题
特征：最多能放多少头牛吃，草永远吃不完?
当让每天吃掉的草量小于等于每天生长的草量时，草永远都吃不完，故牛最多的头数与每天生长的草量相等时草永远吃不完。
例3.某河段中的沉积河沙可供80人连续开采6个月或60人连续开采10个月。如果要保证该河段河沙不被开采枯竭，问最多可供多少人进行连续不间断的开采?(假定该河段河沙沉积的速度相对稳定)
A.25 B.30 C.35 D.40
【答案】B。
【中公解析】题中出现“要保证该河段河沙不被开采枯竭，问最多可供多少人进行连续不间断的开采”属于极值型牛吃草问题。假设每个人每个月开采量为1，河沙每月沉积量为x，可列方程(80-x)×6=(60-x)×10，解得x=30。则每月开采量不能大过河沙沉积量，最多30人连续不断开采不会导致资源枯竭。故选B。
中公教育专家相信通过上面的详细讲解，大家一定能够很好地掌握牛吃草问题的各种类型，但是在考试时一般不会直接考大家，而是会把背景换成抽水问题、检票问题、资源开发等问题进行考察，这就需要大家能够很好地判断题型特征，将不同问题抽象为牛吃草问题并进行解答。
牛吃草问题是行程问题里面的一个基本知识点，其难度系数并不大，也是公务员考试中的常考知识之一，大部分同学来做这一部分题的时候都还是可以拿到分值的，但是做题的速度却不够快，所以如何才能又对又快的做出这个题目是我们一直致力研发的方向，今天中公教育在此就给大家介绍一种比较快速和高效的方法——特值法。
二、基本公式：
三、方法介绍——特值法
【例题1】一牧场，草匀速的生长。已知该牧场上的草可供10头牛吃8小时或者6头牛吃24小时。那么8头牛同时吃，几小时可以吃完?
A.16 B.14 C.12 D.10
中公教育解析：常规解法：设1头牛一小时吃“1”份草，草速为x，则根据公式：M=(N-x)t可得：M=(10-x)8=(6-x)24=(8-x)t，求解此方，解得x=4，t=12。虽然这个求解很简单，但是真正去做的时候会遇到两个问题，一个是如果公式记不住怎么办?二是10秒内要想解出来还是困难的，所以在此给大家介绍第二这种方法——特值法。
原理推导：根据公式：M=(N-x)t可知t=M/(N-x),因此要求时间，得先知道M和N-x，而问题是这些量都不知道，所以可以考虑设特值(特值的应用环境之一——所求为乘除关系且对应量未知)，接下来的关键点是设谁为特值，一般设不变量或相同量为特值会便于求解，所以设M为特值，其次是设M为时间的最小公倍数。此题可以设M=24，因此：
由第一列可知10头牛比6头牛多4头牛，而对应的实际效率是3比1多2，也就是说明4头牛可以造成效率差2，则1头牛的实际效率差0.5。而8头牛比6头牛多2头牛，那么8头牛对应的效率应该比6头牛的效率多1，则8头牛的吃草效率为1+1=2，则8头牛吃草用时t=24/2=12小时。所以答案选C。(备注：以后比较熟悉了之后不需要列公式，直接设特值，然后根据牛数量的差值与实际效率的差值的对应关系就可以直接求解)
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编辑：专注于公职类考试的江西中公教育
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