1、 如图,在△ABC中,P、Q分别是BC、AC上的点,作PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别为R、S,若AQ=PQ,PR=PS,则结论:①PA平分∠RPS;②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△CSP.其中正确的有( )
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
【考点】平行线的判定,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,角的平分线判定
【分析】根据已知条件利用HL易证△APR≌△APS,再利用全等三角形的性质可得∠PAR=∠PAS,AR=AS,从而可证(1)、(2)正确;
由AQ=PQ,利用等边对等角易得∠1=∠APQ,再利用三角形外角的性质可得∠PQC=2∠1,而(1)中PA是∠BAC的角平分线可得∠BAC=2∠1,等量代换,从而有∠PQC=∠BAC,利用同位角相等两直线平行可得QP∥AR,(3)正确;
根据已知条件可知△BRP与△CSP只有一角、一边对应相等,故不能证明两三角形全等,因此(4)不正确. 本题考查了全等三角形的判定和性质;
2、 如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,D、E都在BC上,要使△ABD≌△ACE,需要添加一个条件,某学习小组在讨论这个条件时给出了如下几种方案: ①AD=AE;②BD=CE;③BE=CD;④∠BAD=∠CAE,其中可行的有( )
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
【考点】三角形全等的判定
【分析】根据全等三角形的判定定理SAS,ASA,AAS,SSS,对每一个选项进行判断即可.【解析】解:∵在△ABC中,AB=AC, ∴∠B=∠C,
当①AD=AE时,
∴∠ADE=∠AED,
∵∠ADE=∠B+∠BAD,∠AED=∠C+∠CAE,
∴∠BAD=∠CAE,
然后根据SAS或ASA或AAS可判定△ABD≌△ACE;
当②BD=CE时,根据SAS可判定△ABD≌△ACE;
当③BE=CD时,
∴BE﹣DE=CD﹣DE,
即BD=CE,根据SAS可判定△ABD≌△ACE;
当④∠BAD=∠CAE时,根据ASA可判定△ABD≌△ACE.
综上所述①②③④均可判定△ABD≌△ACE.
故选A.
3、如图,过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于点E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连接PQ交AC边于D,则DE的长为 ( )
A. 1/2 B.1/3 C.2/3 D. 2/5
【分析】由PA=CQ,可过P作PF∥BC交AC于F.构造X型全等,即△PFD≌△QCD,得出FD=CD,进而得出AE+CD=DE=AC÷2=0.5.
【解答】过P作PF∥BC交AC于F.
∵PF∥BC,△ABC是等边三角形,
∴∠PFD=∠QCD,△APF是等边三角形,
∴AP=PF=AF,
∵PE⊥AC,
∴AE=EF,
∵AP=PF,AP=CQ,
∴PF=CQ.
∵在△PFD和△QCD中,∠PFD=∠QCD,∠PDF=∠QDC,PF=CQ ,
∴△PFD≌△QCD(AAS),
∴FD=CD,
∵AE=EF,
∴EF+FD=AE+CD,
∴AE+CD=DE=AC÷2,
∵AC=1,
∴DE=1/2.
答案为:A.
小结:做题时利用了平行线的判定、等边对等角、三角形外角的性质,要熟练掌握这些知识并能灵活应用.秒杀初二数学上册压轴题,选择题压轴题也可轻易解决?秒杀初二上册期末考试压轴题:来自一线城市的压迫感?
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