1、 如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ＝PQ，PR＝PS，则结论：①PA平分∠RPS；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP.其中正确的有（ ）
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
【考点】平行线的判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，角的平分线判定
【分析】根据已知条件利用HL易证△APR≌△APS，再利用全等三角形的性质可得∠PAR=∠PAS，AR=AS，从而可证（1）、（2）正确；
由AQ=PQ，利用等边对等角易得∠1=∠APQ，再利用三角形外角的性质可得∠PQC=2∠1，而（1）中PA是∠BAC的角平分线可得∠BAC=2∠1，等量代换，从而有∠PQC=∠BAC，利用同位角相等两直线平行可得QP∥AR，（3）正确；
根据已知条件可知△BRP与△CSP只有一角、一边对应相等，故不能证明两三角形全等，因此（4）不正确． 本题考查了全等三角形的判定和性质；
2、 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，D、E都在BC上，要使△ABD≌△ACE，需要添加一个条件，某学习小组在讨论这个条件时给出了如下几种方案： ①AD=AE；②BD=CE；③BE=CD；④∠BAD=∠CAE，其中可行的有（ ）
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
【考点】三角形全等的判定
【分析】根据全等三角形的判定定理SAS，ASA，AAS，SSS，对每一个选项进行判断即可．【解析】解：∵在△ABC中，AB=AC， ∴∠B=∠C，
当①AD=AE时，
∴∠ADE=∠AED，
∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠CAE，
∴∠BAD=∠CAE，
然后根据SAS或ASA或AAS可判定△ABD≌△ACE；
当②BD=CE时，根据SAS可判定△ABD≌△ACE；
当③BE=CD时，
∴BE﹣DE=CD﹣DE，
即BD=CE，根据SAS可判定△ABD≌△ACE；
当④∠BAD=∠CAE时，根据ASA可判定△ABD≌△ACE．
综上所述①②③④均可判定△ABD≌△ACE．
故选A．
3、如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC边于D，则DE的长为 （ ）
A. 1/2 B.1/3 C.2/3 D. 2/5
【分析】由PA=CQ,可过P作PF∥BC交AC于F．构造X型全等，即△PFD≌△QCD，得出FD=CD，进而得出AE+CD=DE=AC÷2=0.5.
【解答】过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ．
∵在△PFD和△QCD中，∠PFD=∠QCD,∠PDF=∠QDC，PF=CQ ，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DE=AC÷2，
∵AC=1，
∴DE=1/2．
答案为：A．
小结：做题时利用了平行线的判定、等边对等角、三角形外角的性质，要熟练掌握这些知识并能灵活应用．秒杀初二数学上册压轴题，选择题压轴题也可轻易解决？秒杀初二上册期末考试压轴题：来自一线城市的压迫感？
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