利用“旋转法”构造全等三角形
如图,已知点E,F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,并且AF平分∠EAD。
求证:BE+DF=AE
1、要证明的BE和DF不在同一条直线上,因而要想办法将他们“组合”到同一条直线上。怎么做呢?我们可将△ADF绕点A顺时针旋转90°到△ABG的位置,则△ADF≌△ABG,利用“全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等”可以得到:DF=BG、∠AFD=∠G、∠FAD=∠GAB。
2、此时观察图形可以发现BE+BG=BE+DF=GE。现在我们来证明AE=GE。由条件AF平分∠EAD可得到结论:∠FAD=∠FAE=∠GAB。观察图形可以发现∠GAB+∠BAE=∠FAE+∠BAE,即∠GAE=∠BAF。
3、因为四边形ABCD是正方形,所以AB∥CD。根据“两直线平行,内错角相等”得到结论:∠BAF=∠AFD。再根据∠GAE=∠BAF,∠AFD=∠G推出∠GAE=∠G,所以△EAG是等腰三角形,从而AE=GE=BE+BG=BE+DF,即BE+DF=AE。
证明:
将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,则△ADF≌△ABG
∴DF=BG (全等三角形的对应边相等)
∠AFD=∠G (全等三角形的对应角相等)
∠FAD=∠GAB(全等三角形的对应角相等)
∵BE+BG=GE (观察图形可以发现)
∴BE+DF=GE (等量代换)
∵AF平分∠EAD
∴∠FAD=∠FAE(角平分线的定义)
∵∠FAD=∠GAB
∴∠FAE=∠GAB(等量代换)
∵∠GAB+∠BAE=∠FAE+∠BAE (观察图形可以发现)
∴∠GAE=∠BAF(等量代换)
∵四边形ABCD是正方形
∴AB∥CD(正方形的对边互相平行)
∴∠BAF=∠AFD(两直线平行,内错角相等)
∵∠GAE=∠BAF
∠AFD=∠G
∴∠GAE=∠G
∴△EAG是等腰三角形
∴AE=GE
∵BE+DF=GE
∴BE+DF=AE
小结:本题利用旋转巧妙地将两条分离的线段连接在一起从而的证,用旋转构造全等三角形是经常用到的方法。如果您认为我的分析对您有些帮助,请把文章分享给您的同学和朋友们。
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