初中数学初二上册《全等三角形》利用“旋转法”构造全等三角形

利用“旋转法”构造全等三角形

如图，已知点E,F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，并且AF平分∠EAD。

求证：BE+DF=AE

1、要证明的BE和DF不在同一条直线上，因而要想办法将他们“组合”到同一条直线上。怎么做呢？我们可将△ADF绕点A顺时针旋转90°到△ABG的位置，则△ADF≌△ABG，利用“全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等”可以得到：DF=BG、∠AFD=∠G、∠FAD=∠GAB。

2、此时观察图形可以发现BE+BG=BE+DF=GE。现在我们来证明AE=GE。由条件AF平分∠EAD可得到结论：∠FAD=∠FAE=∠GAB。观察图形可以发现∠GAB+∠BAE=∠FAE+∠BAE，即∠GAE=∠BAF。

3、因为四边形ABCD是正方形，所以AB∥CD。根据“两直线平行，内错角相等”得到结论：∠BAF=∠AFD。再根据∠GAE=∠BAF，∠AFD=∠G推出∠GAE=∠G，所以△EAG是等腰三角形，从而AE=GE=BE+BG=BE+DF，即BE+DF=AE。

证明：

将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，则△ADF≌△ABG

∴DF=BG （全等三角形的对应边相等）

∠AFD=∠G （全等三角形的对应角相等）

∠FAD=∠GAB（全等三角形的对应角相等）

∵BE+BG=GE （观察图形可以发现）

∴BE+DF=GE （等量代换）

∵AF平分∠EAD

∴∠FAD=∠FAE（角平分线的定义）

∵∠FAD=∠GAB

∴∠FAE=∠GAB（等量代换）

∵∠GAB+∠BAE=∠FAE+∠BAE （观察图形可以发现）

∴∠GAE=∠BAF（等量代换）

∵四边形ABCD是正方形

∴AB∥CD（正方形的对边互相平行）

∴∠BAF=∠AFD（两直线平行，内错角相等）

∵∠GAE=∠BAF

∠AFD=∠G

∴∠GAE=∠G

∴△EAG是等腰三角形

∴AE=GE

∵BE+DF=GE

∴BE+DF=AE

小结：本题利用旋转巧妙地将两条分离的线段连接在一起从而的证，用旋转构造全等三角形是经常用到的方法。如果您认为我的分析对您有些帮助，请把文章分享给您的同学和朋友们。

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