如图，CB，CE分别是△ADC，△ABC的中线，且AC=AD，∠ACB=∠ABC。
用“倍长中线法”构造全等三角形
求证：CD=2CE
1、为了证明CD=2CE，我考虑了两个思路，第一个思路是找CD的中点，试图证明CE等于CD长的一半，经过尝试，这个思路被我否定掉了。那就尝试用第二个思路，考虑到CE是△ABC底边AB上的中线，所以延长CE到点F，使CF=2CE，就能把证明CD=2CE的问题转化为证明CD=CF。
2、通过我们添加的辅助线，只要能够证明△CBF≌△CBD，就能得到结论CD=CF。但是要证明△CBF≌△CBD，现在只要CB公共边这一个条件。所以需要先证明另一组全等的三角形：△BEF和△AEC，看看这一组三角形全等后能给我们带来什么能够帮助我们证明△CBF≌△CBD的条件。
3、△BEF和△AEC全等能够得到结论：BF=AC，∠EBF=∠A。结合∠ACB=∠ABC观察图形可以发现∠ACB+∠A=∠ABC+∠EBF，从而可以得到证明△CBF≌△CBD的第二个条件∠CBD=∠CBF。
4、因为CB是△ADC的中线，所以AB=BD=AD。由于AC=AD，所以BF=AC=AB=BD。这时证明△CBF≌△CBD的第三个条件也有了。
证明：
延长CE到点F，使EF=CE，连接BF
∵CE是△ABC的中线
∴BE=AE
在△BEF和△AEC中
BE=AE （已证）
∠BEF=∠AEC （对顶角相等）
EF=CE （添加的辅助线）
∴△BEF≌△AEC （SAS）
∴BF=AC （全等三角形的对应边相等）
∠EBF=∠A （全等三角形的对应角相等）
∵∠ACB=∠ABC
∴∠ACB+∠A=∠ABC+∠EBF （等量代换）
即∠CBD=∠CBF
∵CB是△ADC的中线
∴AB=BD=AD
∵AC=AD
∴BF=AC=AB=BD
在△CBD和△CBF中
CB=CB （公共边）
∠CBD=∠CBF （已证）
BD = BF（已证）
∴△CBD≌△CBF （SAS）
∴CF=CD （全等三角形的对应边相等）
∴CD=2CE
小结：三角形中有中线时，常加倍延长中线，构造全等三角形，使边、角条件转换，从而将分散的边、角集中在一些图形中，使问题轻易得到解决。如果您认为我的分析对您有些帮助，请把文章分享给您的同学和朋友们。
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