因几何变换产生的最值问题
因动点产生的最值问题一直都是中考数学的热点，无论是基础题、中等题还是压轴题，最大值或者最小值问题几乎年年考，年年都有一批考生无从下手。
其实，几何的最值问题原理非常简单，就两个：（1）点到直线的距离最短；（2）两点之间，线段最短。
而几何变换，基本都是靠这两个原理来求最值。备考时，一定要注意将复杂的题型转化到这两个简单的原理。无论是一条线段长度的最值问题（作垂线），还是多条线段长度的最值问题（将军饮马）。如果你觉得转化难度太大，记住下面这个口诀：最值问题转化难，一个定圆来帮忙！
下面，来一道压轴题试试吧……
问题发现．
（1）如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为________．
（2）如图②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值．
（3）如图③，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由．
问题分析
（1）根据点到直线的距离最小，再用三角形的面积即可得出结论；
（2）先根据轴对称确定出点M和N的位置，再利用面积求出CF，进而求出CE，最后用三角函数即可求出CM+MN的最小值；
（3）先确定出EG⊥AC时，四边形AGCD的面积最小，再用锐角三角函数求出点G到AC的距离，最后用面积之和即可得出结论，再用相似三角形得出的比例式求出CF即可求出BF．
问题解决
解：（1）如图①，过点C作CD⊥AB于D，根据点到直线的距离垂线段最小，此时CD最小，
在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理得，AB＝5，
∵0.5AC×BC＝0.5AB×CD，
∴CD＝AC×BC÷AB＝2.4，
故答案为2.4；
（2）如图②，作出点C关于BD的对称点E，
过点E作EN⊥BC于N，交BD于M，连接CM，此时CM+MN＝EN最小；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝3，根据勾股定理得，BD＝5，
∵CE⊥BC，
∴0.5BD×CF＝0.5BC×CD，
∴CF＝BC×DC÷DB＝2.4，
由对称得，CE＝2CF＝4.8，
在Rt△BCF中，cos∠BCF＝CF÷BC＝0.6，
∴sin∠BCF＝0.8，
在Rt△CEN中，EN＝CEsin∠BCE＝96/25；
即：CM+MN的最小值为96/25；
（3）如图3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°，根据勾股定理得，AC＝5，
∵AB＝3，AE＝2，
∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，
设点G到AC的距离为h，
∵S四边形AGCD＝S△ACD+S△ACG＝0.5AD×CD+0.5AC×h＝0.5×4×3+0.5×5×h＝2.5h+6，
∴要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，
∵点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，
∴EG⊥AC时，h最小，
由折叠知∠EGF＝∠ABC＝90°，
延长EG交AC于H，则EH⊥AC，
在Rt△ABC中，sin∠BAC＝BC/AC=0.8，
在Rt△AEH中，AE＝2，sin∠BAC＝EH/AE＝0.8，
∴EH＝0.8AE＝1.6，
∴h＝EH﹣EG＝1.6﹣1＝0.6，
∴S四边形AGCD最小＝2.5h+6＝7.5，
过点F作FM⊥AC于M，
∵EH⊥FG，EH⊥AC，
∴四边形FGHM是矩形，
∴FM＝GH＝0.6
∵∠FCM＝∠ACB，∠CMF＝CBA＝90°，
∴△CMF∽△CBA，
∴CF/AC=FM/AB，
∴CF/5=0.6/3
∴CF＝1
∴BF＝BC-CF＝4-1＝3．
问题总结
此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，点到直线的距离，轴对称，解本题的关键是确定出满足条件的点的位置，是一道很好的中考常考题．
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