动点问题作为最为热门的考点,在全等三角形这部分,不仅是初二期末的必考内容,同样是中考的热门考点。同时也是学习的难点,今天我们继前一篇的动点专题基础篇的基础上,进行提高,稍微有点难度,洗完同学们认真分析解题思路,总结出解题方法,不断提高。
例1. 如图,点P是∠MON内的一点,过点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,且OA=OB,
(1)如图1,求证:PA=PB;(2)如图2,点C是射线AM上一点,点D是线段OB是一点,且∠CPD+∠MON=180°,若OC=8,OD=5,求OA的长;(3)如图3,若∠MON=60°,将PB绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转,12秒后,PA开始绕点P以每秒10°的速度顺时针旋转,PA旋转270°后停止,此时PB也随之停止旋转. 在旋转过程中,PA所在直线与OM所在直线的交点记为G,PB所在直线与ON所在直线的交点记为H,问PB旋转几秒时,PG=PH?
【解析】解:(1)连接OP,
∵PA⊥OM,PB⊥ON,∴∠OAP=∠ABP=90°,在Rt△AOP和Rt△BOP中,
∵OP=OP,OA=OB,∴Rt△AOP≌Rt△BOP∴PA=PB;
(2)∵∠CPD+∠MON=180°,∴∠ACP+∠ODP=180°,∵∠BDP+∠ODP=180°,
∴∠ACP=∠BDP,∵PA=PB,∠PAC=∠PBD=90°,∴△ACP≌△BDP,
∴AC=BD,∵OC=8,OD=5,∴OA=OC-AC=OC-BD= OC-(OB-OD)=OC-OA+OD,∴OA=(OC+OD)÷2=6.5;
(3)如图3,若∠MON=60°,将PB绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转,12秒后,PA开始绕点P以每秒10°的速度顺时针旋转,PA旋转270°后停止,此时PB也随之停止旋转. 在选择过程中,PA所在直线与OM所在直线的交点记为G,PB所在直线与ON所在直线的交点记为H,问PB旋转几秒时,PG=PH?
(3)①当0≤t<12时,PA未开始运动,故不存在PG=PH;
②当G、P、B三点共线时,t=21,当12<t<21时,∠APG=∠BPH时,△APG≌△BPH,此时,PG=PH,如下图所示,
由题意知,10t-120=2t,解得,t=15;
③当H与点O重合时,t=30,当21≤t<30时,∠APG=∠BPH时,△APG≌△BPH,此时,PG=PH,如下图所示,
由题意知,180-(10t-120)=2t,解得:t=25;
④当PA旋转270°时,t=39,同理,∠APG=∠BPH时,△APG≌△BPH,此时,PG=PH,
∴10t-300=2t,解得:t=37.5;
综上所述,当t=15秒,25秒,37.5秒时,PG=PH.
例2. 如图,在△ABC中,∠ABC为锐角,点D是直线BC上一动点,以AD为直角边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE,∠DAE=90°,AD=AE.
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,
①当点D在线段BC上时,如图1,判断线段CE、BD的位置关系及数量关系.
②当点D在线段BC的延长线上时,如图2,判断线段CE、BD的位置关系及数量关系.
(2)如图3,如果AB≠AC,∠BAC≠90°,点D在线段BC上运动,探究:当∠ACB为多少度时,CE⊥BC?
【解析】解:(1)①CE⊥BD,CE=BD,理由如下,∵∠BAD+∠DAC=90°,∠CAE+∠DAC=90°,∴∠BAD=∠CAE,∵AB=AC,AD=AE,∴△ABD≌△ACE,
∴∠ACE=∠B=45°,BD=CE,∴∠ECB=90°,即CE⊥BD.
②CE⊥BD,CE=BD,理由如下,∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,即∠BAD=∠CAE,
∵AD=AE,AB=AC,∴△ABD≌△ACE,∴CE=BD,∠B=∠ACE,BD=CE,∴∠ACE+∠ACB=90°,即CE⊥BD,CE=BD;
(2)当∠ACB=45°时,CE⊥BC,理由如下,过点A作AG⊥AC交CB延长线于G,∠GAC=90°,
∵∠ACB=45°,∴∠G=45°,∴AG=AC,在△GAD和△CAE中,∵AG=AC,∠DAG=∠EAC,AD=AE,∴△GAD≌△CAE,∴∠ACE=∠AGC=45°,∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,即CE⊥BC.
例3. 如图,已知△BAD≌△BCE,∠BAD=∠BCE=90°,∠ABD=∠BEC=30°,点M为DE的中点,过点E与AD平行的直线交射线AM于点N,如图,当点A、B、E三点在同一直线上时,①求证:△MEN≌△MDA;②判断AC与CN的数量关系,并说明理由.
【解析】解:①∵△BAD≌△BCE,∴BC=AD,EC=AB,∵EN∥AD,
∴∠MEN=∠MDA,∵ME=MD,∠EMN=∠DMA,∴△MEN≌△MDA;
②AC=CN,由△MEN≌△MDA,得EN=AD,∴EN=BC,
∵∠ABD=∠BEC=30°∴∠ABC=∠CEN=120°,∵AB=EC, ∴△ABC≌△CEN,∴AC=CN.
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