小学奥数中的工程问题,工作效率往往隐藏在条件中,工作过程也较为复杂,要仔细梳理工作过程、灵活运用基本数量关系。
工程问题的概念:
工程问题是中小学数学应用题教学中的重点,是分数应用题的引申与补充,是培养学生逻辑思维能力的重要工具。它是函数一一对应思想在应用题中的有力渗透。工程应用题中的工作(或工作)一般不给出具体数量。
工程问题的解法:
解题时首先要将全部工程看作单位“1”,再求出一个单位时间的工作量占总工作量的几分之几,即工作效率。一般要用到下面三个关系式:工作量=工作效率×工作时间,工作时间=工作量÷工作效率,工作效率=工作量÷工作时间。
工程问题的经典例题:
例题一:一件工作,甲、乙两人合作30天可以完成,共同做了6天后,甲离开了,由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天?
解题方法:一共做了6天后,原来,甲做 24天,乙做 24天,现在,甲做0天,乙做40=(24+16)天,这说明原来甲24天做的工作,可由乙做16天来代替。因此甲的工作效率是乙的工作效率的16/24=2/3。
如果乙独做,所需时间是50÷2/3=75天;
如果甲独做,所需时间是30+30×2/3=50天。
例题二:一件工程,甲队单独做10天完成,乙队单独做30天完成.现在两队合作,其间甲队休息了2天,乙队休息了8天(不存在两队同一天休息)。问开始到完工共用了多少天时间?
解题方法:甲队单独做8天,乙队单独做2天,共完成工作量1/10×8+1/30×2=13/16,余下的工作量是两队共同合作的,需要的天数是 2+8+ 1= 11(天)
例题三:甲、乙两个工程队修路,最终按工作量分配8400元工资。按两队原计划的工作效率,乙队应获5040元。实际从第5天开始,甲队的工作效率提高了1倍,这样甲队最终可比原计划多获得960元。那么两队原计划完成修路任务要多少天?
解题方法:开始时甲队拿到8400—5040=3360元,甲乙的工资比等于甲乙的工效比,即为3360:5040=2:3;甲提高工效后,甲乙的工资及工效比为(3360+960):(5040—960)=18:17;设甲开始的工效为“2”,那么乙的工效为“3”,设甲在提高工效后还需X天完成任务。有(2×4+4X):(3×4+3X)=18:17,化简为X=40/7,于是共有工程量为4×5+7×40/7=60,所以原计划60÷(2+3)=12天完成。
例题四:一个蓄水池,每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头,2小时半就把水池水放空,如果打开8个水龙头,1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头,问要多少时间才能把水放空?
解题方法:先计算1个水龙头每分钟放出水量.2小时半比1小时半多60分钟,多流入水4 × 60= 240(立方米).时间都用分钟作单位,1个水龙头每分钟放水量是240 ÷ ( 5× 150- 8 × 90)= 8(立方米),8个水龙头1个半小时放出的水量是8 × 8 × 90,其中 90分钟内流入水量是 4 × 90,因此原来水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400(立方米).打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13,除去每分钟流入4,其余将放出原存的水,放空原存的5400,需要5400 ÷(8 × 13- 4)=54(分钟)。所以打开13个龙头,放空水池要54分钟。
注意:水池中的水,有两部分,原存有水与新流入的水,就需要分开考虑,解本题的关键是先求出池中原存有的水,这在题目中却是隐含着的。
工程问题举一反三练习:
1、一件工作,甲单独做12天完成,乙单独做要18天完成,丙单独做要24天完成。这件工作先由甲做了若干天,然后由乙接着做,乙做的天数是甲做的天数的3倍;再由丙接着做,丙做的天数是乙做的天数的2倍,终于完成这件工作。问共用了多少天?
2、一项工程,甲乙丙三人合作需13天完成,如果丙休息2天,乙就要多做4天,或者由甲乙两人合作多做1天,这项工程由甲单独做需要多少天?
3、制作一批零件,甲车间要10天完成,如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成,乙车间与丙车间一起做,需8天才能完成。现在三个车间一起做,完工时发现甲车间比乙车间多做零件2400个,丙车间制作零件多少个?
4、某工程由甲单独做63天可以完成,由乙单独做28天可完成。现在甲先单独 42天,然后再由乙来单独完成,乙还需要多少天?
5、师徒三人合作承包一项工程,4天能够全部做完。已知师傅单独做所需要天数与两个徒弟合作所需天数相等,而师傅与乙徒弟合做所需天数的2倍与甲徒弟单独做完所需的天数相等。那么甲徒弟单独做,完成这项工程需要多少天?乙徒弟单独做,完成这项工程需要多少天?
6、一件工作,甲乙两人合作30天可以完成。甲乙两人共同做了6天后,甲离开了,由乙继续做了40天才完成。如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天?
7、老刘和小李合做一件工作,要12天完成,如果让老刘先做8天,剩下的工作由小李单独做,小李还要14天才能完成。小李单独做这件工作需几天完成?
8、一项工程,甲单独做需12小时,乙单独做需18小时,若甲先做1小时,然后乙接替甲做1小时,再由甲接替乙做1小时……两人如此交替工作,问完成任务时共用多少个小时?
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小学奥数专题一:不定方程的经典题型以及解题方法
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