中考数学压轴题冲刺,二次函数相关的点的存在性问题
二次函数,在中考数学中一直都是以压轴题的方式存在。尤其是这些点的存在性问题,出题方式变化多端。既有因动点产生的一系列几何问题,比如:最值问题(线段的最小值问题、周长或面积的最小值问题等),三角形问题(等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形等),四边形问题(平行四边形问题、特殊的平行四边形问题);又有因动点产生的一系列代数问题,比如:面积中的函数关系问题,定值问题,定点问题等。
如果能吃透这一系列问题,那么在中考中,你将领先别人至少10分。从此,妈妈再也不用担心你的学习。那么,先从下面这两题练练手吧!
经典例题1
例题1、在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx^2﹣2mx+m+4与y轴交于点A(0,3),与x轴交于点B,C(点B在点C左侧).
(1)求该抛物线的表达式及点B,C的坐标;
(2)抛物线的对称轴与x轴交于点D,若直线y=kx+b经过点D和点E(﹣1,﹣2),求直线DE的表达式;
(3)在(2)的条件下,已知点P(t,0),过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点M,交直线DE于点N,若点M和点N中至少有一个点在x轴下方,直接写出t的取值范围.
分析
(1)把A点坐标代入可求得m的值,可求得抛物线的表达式,令y=0可求得B、C两点的坐标;
(2)由(1)可求得抛物线的对称轴,可求得D点坐标,再利用待定系数法可求得直线DE的表达式;
(3)由条件可知当直线和抛物线的图像不能都在x轴上方,结合直线和抛物线的图象可求得t的范围.
解答
解:(1)∵抛物线y=mx^2﹣2mx+m+4与y轴交于点A(0,3),
∴m+4=3.
∴m=﹣1.
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3.
∵抛物线y=﹣x^2+2x+3与x轴交于点B,C,
∴令y=0,即﹣x^2+2x+3=0.
解的 x1=-1,x2=3.
又∵点B在点C左侧,
∴点B的坐标为(﹣1,0),点C的坐标为(3,0);
(2)∵y=﹣x^2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴抛物线的对称轴为直线x=1.
∵抛物线的对称轴与x轴交于点D,
∴点D的坐标为(1,0).
∵直线y=kx+b经过点D(1,0)和点E(﹣1,﹣2),
∴k+b=0;-k+b=-2
解得k=1,b=-1
∴直线DE的表达式为y=x-1;
(3)如图,当P点在D、B两点之间时,M、N都在x轴上方,
∴点M、N至少有一个点在x轴下方的t的范围为:t<1或t>3.
点评
本题主要考查二次函数与一次函数的综合,在(1)中注意待定系数法的应用,在(2)中求得D点坐标是解题的关键,在(3)中注意数形结合思想的应用.
经典例题2
例题2、如图,已知抛物线y=ax^2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B(5,0),另一个交点A,且与y轴交于点C(0,5).
(1)求直线BC与抛物线的解析式.
(2)若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点,过点M作MN∥y轴交轴BC于点N,求MN的最大值.
(3)在(2)的条件下,MN取得最大值时,若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点,以BC为边作平行四边形CBPQ,设平行四边形CBPQ的面积为S1,△ABN的面积为S2,且S1=6S2,求点P的坐标.
分析
(1)设直线BC的解析式为y=mx+n,将B(5,0),C(0,5)两点的坐标代入,运用待定系数法即可求出直线BC的解析式;同理,将B(5,0),C(0,5)两点的坐标代入y=x2+bx+c,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式;
(2)MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差,据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求出MN的最大值;
(3)先求出△ABN的面积S2=5,则S1=6S2=30.再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD,根据平行四边形的面积公式得出BD=3√2,过点D作直线BC的平行线,交抛物线与点P,交x轴于点E,在直线DE上截取PQ=BC,则四边形CBPQ为平行四边形.证明△EBD为等腰直角三角形,则BE=√2BD=6,求出E的坐标为(﹣1,0),运用待定系数法求出直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1,然后解方程组y=-x-1,y=x^2-6x+5,即可求出点P的坐标.
解答
点评
本题考查了二次函数的综合题,其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式,二次函数的性质,三角形的面积,平行四边形的判定和性质等知识点,综合性较强,考查学生运用方程组、数形结合的思想方法.(2)中弄清线段MN长度的函数意义是关键,(3)中确定P与Q的位置是关键.
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