5．如图，抛物线 y＝ax2+2x+c（a＜0）与 x 轴交于点 A 和点 B（点 A 在原点的左侧，点 B 在原点的右侧），与 y 轴交于点 C，OB＝OC＝3．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图1，连接 BC，点 D 是直线 BC 上方抛物线上的点，连接 OD，CD，OD 交 BC 于点 F，当S△COF：S△CDF＝3：2 时，求点 D 的坐标．
（3）如图2，点 E 的坐标为（0，- 3/2），在抛物线上是否存在点 P，使 ∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】
解：
（1）c＝3，点 B（3，0），
将点 B 的坐标代入抛物线表达式：y＝ax2+2x+3 中，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3 ；
（2）如图1，过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H，交 BC 于点 M，
图1
∵ S△COF：S△CDF＝3：2，
∴ OF：FD＝3：2，
∵ DH∥CO，CO = 3 ,
∴ CO：DM＝3：2，即 DM＝2/3 CO＝2，
由 B、C 两点的坐标得：直线 BC 的表达式为：y＝﹣x+3，
设点 D（x，﹣x2+2x+3），则点 M（x，﹣x+3），
DM＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝2，
解得：x＝1 或 2，
故点 D（1，4）或（2，3）；
（3）① 当点 P 在 x 轴上方时，如图2 所示，
取 OG＝OE，连接 BG，过点 B 作直线 PB 交抛物线于点 P，交 y 轴于点 M，使 ∠GBM＝∠GBO，
则 ∠OBP＝2∠OBE，过点 G 作 GH⊥BM 于点 H，
图2
设 MH＝x，则 MG＝√（x2 + 9/4），
在 △OBM 中，OB2 + OM2 ＝ MB2，
故 MG＝√（4 + 9/4）＝ 5/2，则点 M（0，4），
由 B、M 两点的坐标得：直线 BM 的表达式为：y＝﹣4/3 x + 4，
联立 y＝﹣x2+2x+3 与 y＝﹣4/3 x + 4，
解得 x = 3（舍去）或 1/3，
故点 P（1/3 ，32/9）；
②当点 P 在 x 轴下方时，如图3 所示，
过点 O 作 OD ⊥ BE 于点 D，延长 OD 使 OD = DF，连接 BF 交 y 轴于点 G，交抛物线于点 P，
则有 ∠OBP＝2∠OBE，
图3
连接 EF，易知 △OBE≌△FBE（SAS），则有 ∠EOB = ∠EFB = 90°，
设 GF = x，则 EG = √（x2 + 9/4），
在 △BOG 中，BO2 + OG2 = BG2，
故 EG = √（4 + 9/4）= 5/2，OG = 4，则点 G（0，-4），
由 B、G 两点的坐标得：直线 BG 的表达式为：y＝ 4/3 x - 4，
联立 y＝﹣x2+2x+3 与 y＝ 4/3 x - 4，
解得 x = 3（舍去）或 -7/3，
故点 P（-7/3 ，-64/9）；
综上，点 P 的坐标（1/3 ，32/9）或（-7/3 ，-64/9）.
【分析】
（1）掌握二次函数图像与坐标轴的交点所表示的含义，很容易求出二次函数的解析式。
（2）由 S△COF：S△CDF＝3：2，可知两个三角形等高不等底，即转化成底边 OF ：FD = 3:2，
OC = 3 已知，∠CFO = ∠DFB（对顶角），OF ：FD = 3:2，想到构造相似三角形，就要作辅助线，从而求出线段 DM = 2。
点 D 是抛物线上的点，点 M 是直线 BC 上的点，而且横坐标相等，先把横坐标设出来，利用函数解析式把它们的坐标表示出来，结合 DM = 2，从而可求出点 D 的坐标。
（3）在抛物线上是否存在点 P，使 ∠OBP＝2∠OBE？这是一个非常重要的条件，今后如遇此类问题如何分析？是一个难点，考场时间毕竟有限，只要思路清晰、方法恰当就能突破这个难点，这就需要平时做题包括考试一定要总结积累经验。
首先 ∠OBE 是个锐角，而且是个小于 45° 的锐角（OB = 3 , OE = 3/2 , tan∠OBE = 1/2 , tan45° = 1），
所以 ∠OBP＝2∠OBE 小于 90°，也是个锐角，这样就可以确定 P 点的位置只有两种情况，这时就需要分类讨论了。
其次，如何做出这样的角等于已知角的二倍，就要想到 “尺规作图”！
情况一：
情况二：
都是利用 “等腰三角形三线合一的性质”，做出 ∠OBP＝2∠OBE ！
最后，如何求出点 P 的坐标，这就需要计算了！
大体思路是：
点 P 是一次函数图像与二次函数图像的交点，只要把一次函数的解析式求出来，就可以求出点 P 的坐标。
如何求一次函数的解析式？两点确定一条直线，可以通过待定系数法来求，点 B 的坐标已知，只要求出一次函数图像与 y 轴交点的坐标来就可以求出一次函数的解析式来了。
求与 y 轴交点的坐标情况一、二，都是通过 “勾股定理” 来求的，通过勾股定理建立一个方程，本题解方程比较复杂，通过平方先把 “无理式” 转化成 “有理式”，来解方程。
最后，联立一次函数与二次函数解方程求交点坐标，解一元二次方程时，一定要熟练掌握求根公式！
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