问题补充:
已知点P(0,b)是y轴上的动点,点F(1,0)、M(a,0)满足PM⊥PF,动点N满足.
(1)求动点N所在曲线C的方程.
(2)已知点D(1,2)在曲线C上,若曲线C上两点A、B(都不同于D点)满足DA⊥DB,试证明直线AB必过定点,并求出这个定点的坐标.
答案:
解:(1)设动点N(x,y).(1分)
依据题意,有,.(3分)
又,则,进一步有.
因此,y2=4x(x≥0).?????(7分)
所以曲线C的方程是y2=4x(x≥0).??(8分)
证明(2)因A、B是曲线C:y2=4x(x≥0)上不同于D点的两点,
可设、,则、,.?????????????????????(10分)
又DA⊥DB,故,
进一步化简得y1y2=-2(y1+y2)-20.?????(12分)
由直线AB的法向量为,可得直线AB的方程:,
即.把y1y2=-2(y1+y2)-20代入此方程,得.(14分)
进一步把直线AB的方程化为,知其恒过定点(5,-2).(15分)
所以直线AB:恒过定点,且定点坐标为(5,-2).???(16分)
证毕!
解析分析:(1)设动点N(x,y),由于PM⊥PF,动点N满足.用坐标表示向量,可得坐标之间的关系,进而化简方程即可;(2)利用DA⊥DB,用坐标表示对应的向量,从而有数量积为0,进而有y1y2=-2(y1+y2)-20.代入直线AB的方程,即可知直线恒过定点.
点评:本题的考点是直线与圆锥曲线的位置关系,主要考查轨迹方程的求解,考查直线恒过定点问题,关键是用坐标表示向量,利用向量的数量积为0解决,恒过定点应注意其求解的策略.
已知点P(0 b)是y轴上的动点 点F(1 0) M(a 0)满足PM⊥PF 动点N满足.(1)求动点N所在曲线C的方程.(2)已知点D(1 2)在曲线C上 若曲线C
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