问题补充:
某化工厂生产某种产品,每件产品的生产成本是3元,根据市场调查,预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时,一年的产量为(11-x)2万件.但为了保护环境,用于污染治理的费用与产量成正比,比例系数为常数a(1≤a≤3).若该企业所生产的产品全部销售.
(1)求该企业一年的利润L(x)与出厂价x的函数关系式;
(2)当每件产品的出厂价定为多少元时,企业一年的利润最大,并求最大利润.
答案:
解:(1)依题意,利润函数L(x)=一件产品的利润×一年的产量-污染治理费用,
代入数据得:
利润函数L(x)=(x-3)(11-x)2-a(11-x)2=(x-3-a)(11-x)2,x∈[7,10].
(2)对利润函数求导,得L′(x)=(11-x)2-2(x-3-a)(11-x)=(11-x)(11-x-2x+6+2a)
=(11-x)(17+2a-3x);
由L′(x)=0,得x=11(舍去)或x=;
因为1≤a≤3,所以≤≤;
所以,①当≤≤7,即1≤a≤2时,L′(x)在[7,10]上恒为负,则L(x)在[7,10]上为减函数,
所以[L(x)]max=L(7)=16(4-a)
②当7<≤,即2<a≤3时,L′(x)在(7,)上为正,L(x)是增函数;L′(x)在(,10]上为负,L(x)是减函数,所以[L(x)]max=L=(8-a)3.
即当1≤a≤2时,则每件产品出厂价为7元时,年利润最大,为16(4-a)万元.
当2<a≤3时,则每件产品出厂价为元时,年利润最大,为(8-a)3万元.
解析分析:(1)利润函数L(x)=一件产品的利润×一年的产量-污染治理费用,代入整理即可;(2)对利润函数求导,得L′(x),令L′(x)=0,解得x的值,由a的取值讨论L(x)在定义域上的增减性,从而得L(x)的最大值,即年利润最大.
点评:本题考查了利润函数模型的应用,也考查了用导数法求三次函数在其定义域上的最值问题,含有参数的不等式解集问题等,属于较难的题目.
某化工厂生产某种产品 每件产品的生产成本是3元 根据市场调查 预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时 一年的产量为(11-x)2万件.但为了保护环境 用于污染治
如果觉得《某化工厂生产某种产品 每件产品的生产成本是3元 根据市场调查 预计每件产品的出厂》对你有帮助,请点赞、收藏,并留下你的观点哦!