问题补充:
如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交AC于点D,E是BC的中点,连接DE.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)连接OE,若AB=4,AD=3,求OE的长.
答案:
(1)证明:连接OD,BD,
∵AB为圆O的直径,
∴∠ADB=90°,
在Rt△BDC中,E为斜边BC的中点,
∴CE=DE=BE=BC,
∴∠C=∠CDE,
∵OA=OD,∴∠A=∠ADO,
∵∠ABC=90°,即∠C+∠A=90°,
∴∠ADO+∠CDE=90°,即∠ODE=90°,
∴DE⊥OD,又OD为圆的半径,
∴DE为圆O的切线;
(2)解:在Rt△ABD中,AB=4,AD=3,
根据勾股定理得:BD==,
∵∠DAB=∠BAC,∠ADB=∠CBA=90°,
∴△ADB∽△ABC,
∴=,即=,
解得:BC=,
在Rt△ABC中,根据勾股定理得:AC==,
∵E为BC的中点,O为AB的中点,
∴OE为△ABC的中位线,
则OE=AC=.
解析分析:(1)连接OD,BD,由AB为圆O的直径,得到∠ADB为直角,可得出三角形BCD为直角三角形,E为斜边BC的中点,利用斜边上的中线等于斜边的一半,得到CE=DE,利用等边对等角得到一对角相等,再由OA=OD,利用等边对等角得到一对角相等,由直角三角形ABC中两锐角互余,利用等角的余角相等得到∠ADO与∠CDE互余,可得出∠ODE为直角,即DE垂直于半径OD,可得出DE为圆O的切线;
(2)连接OE,由E为BC的中点,O为AB的中点,即OE为三角形ABC的中位线,可得出OE等于AC的一半,接下来求出AC,在直角三角形ABD中,由AB与AD的长,利用勾股定理求出BD的长,由一对角为公共角,一对直角相等,得到三角形ADB与三角形ABC相似,由相似得比例将AB,AD,及BD的长代入求出BC的长,在直角三角形ABC中,由AB与BC的长,利用勾股定理求出AC的长,即可得出OE的长.
点评:此题考查了切线的判定与性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理,三角形的中位线定理,直角三角形斜边上的中线性质,以及圆周角定理,熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键.
如图 在Rt△ABC中 ∠ABC=90° 以AB为直径的⊙O交AC于点D E是BC的中点 连接DE.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)连接OE 若AB=4 AD=3
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